Equazione di 3° grado con dimostrazione

[anto_zoolander]

Infatti a me è sorto sto dubbio, per questo ho chiesto conferma

[Erasmus_First]

Esercitandomi con qualche "problemino" degli esami di ammissione alla SNS sono incappato a codesto esercizio che recita:
"Si supponga che l'eq. $ x^3+px^2+qx+r $

abbia tre radici reali. Sia $ d $ la differenza fra la radice maggiore e la rad. minore. Dimostra

$ p^2-3q<=d<=2(p^2-3q)/sqrt(3) $

a) Suppongo che si intenda l'equazione $x^3 +px^2+qx+r=0$. 
b) Affinché sia $p^2 – 3q ≤ 2/sqrt3(p^2 - 3q)$ occorre che sia $p^2 - 3q ≥ 0$. Ma questo non è sempre vero.
E non è sempre vero che, se le 3 radici sono tutte reali, la differenza $d$ tra la radice massima e quella minima) è compresa tra $p^2-3q$ e $2(p^2-3q)/sqrt3$.
Sia, per esempio:
$p = 6$; $q=11$; $r = 6$. Ossia: $P_3(x) =x^3+px^2+qx+r=x^3+6x^2+11x+6 = (x+1)(x+2)(x+3)$.
Abbiamo allora $p^2 - 3q=6^2 - 3·11 = 36-33=3$; $d = -1 – (-3) = 2$; $2/sqrt3(p^2-3q) = 2sqrt3$.
In questo caso abbiamo dunque
$2(p^2-3q)/sqrt3>p^2-3q>d$, (cioè: $2sqrt3>3>2$).

Ergo: si chiede l'impossibile (cioè di dimostrare che è sempre vero ciò che a volte è falso)
_______

[dan95]

Allego il sito dove si può vedere il testo corretto del problema [url=prove 2009/2010]https://www.sns.it/ammissione/ammissione-corso-ordinario/prove-di-esame-anni-precedenti[/url]

Soluzione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siano $\lambda_1 \leq lambda_2 \leq lambda_3$ le radici reali, poniamo $x:=\lambda_2-lambda_1$, consideriamo la funzione
$$f(x)=\frac{d^2}{x^2-dx+d^2}$$
Si verifica che nell'intervallo $[0,d]$ la funzione verifica
$$1 \leq f(x) \leq \frac{4}{3}$$
Da cui con un po' di calcoli si arriva alla tesi
$$\sqrt{p^2-3q} \leq d \leq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{p^2-3q}$$

[Adiperc]

Grazie a tutti per le risposte...
Argh! @dan95 il fatto di porre la seconda radice $ lambda_2 $ compresa fra $ lambda_1 e lambda_3 $ ci ero arrivato ahahha.... (risata di sconforto...)
vabbe...