SNS 2017 - n.2

Messaggioda Luca21 » 01/02/2018, 18:44

Non riesco a raccapezzarmi con l'esercizio n.2 del test di ammissione 2017 alla normale.
Qualcuno ha voglia di darmi una mano?


Siano $ \alpha, \beta, \gamma $ e $ \delta $ $ \in \mathbb {R} $. Denotiamo con $ S $ l'insieme dei punti $ (x, y, z) $ dello spazio euclideo tali che $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $.
Supponiamo poi che per certi numeri reali $ r, s $ accada che per ogni $ (x, y, z) \in S $ si abbia $ z \leq rx + sy $.
Dimostrare che in tal caso c'è un numero $ t \in \mathbb {R} $ con $ 0 \leq t \leq 1 $ tale che $ r = t \alpha + (1-t) \gamma $ e $ s = t \beta + (1-t) \delta $.

Nota: nella soluzione potete assumere che $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $, $ (\gamma, \delta) \neq (0,0) $ e che le rette $ \alpha x + \beta y = 0 $ e $ \gamma x + \delta y = 0 $ siano distinte
Luca21
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 24
Iscritto il: 28/10/2017, 10:40

Re: SNS 2017 - n.2

Messaggioda Luca21 » 02/02/2018, 16:39

Nessuno che abbia voglia di aiutarmi a risolvere questo problema? :roll:
Luca21
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 5 di 24
Iscritto il: 28/10/2017, 10:40

Re: SNS 2017 - n.2

Messaggioda Erasmus_First » 02/02/2018, 19:11

Luca21 ha scritto:Nessuno che abbia voglia di aiutarmi a risolvere questo problema? :roll:
Io avrei voluto, ma ... non riesco nemmeno a capire il testo (che, oltre a contenere elementi per me incomprensibili, mi pare contorto e quasi volutamente di difficile comprensione).
In particolare:
1) Non so cosa vuol dire $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $.
2) : Non capisco la faccenda delle rette date con equazioni cartesiane. Ma non siamo nello spazio tridimensionale?
PI questo, per me un'equazione del tipo $αx + βy = 0$ è l'equazione cartesiana di un piano contenente tutto l'asse della terza coordinata z (uno dei piani del fascio che ha per asse l'asse delle z (intersezione dei piani di equazione $x = 0$ e $y = 0$).
Insomma: nello spazio tridimensionale le equazioni cartesiane lineari sono equazioni di "piani", non di rette!
Com'è 'sta storia?
3) Infine, che significa la nota?
“Nella soluzione potete assumere che $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $, $ (\gamma, \delta) \neq (0,0) $ e che le rette $ \alpha x + \beta y = 0 $ e $ \gamma x + \delta y = 0 $ siano distinte».
"Potete" o "si deve"?
Se davvero "è possibile" ma "non è necessario", allora è lecito anche assumere $(α, β) = q(0,0)$, ecc.
E che è $q(0, 0)$? E' qualcosa di distinto da $(0, 0)$? Boh!
--------------
Chiedo scusa. Oltre ad essere di formazione matematica "antica" – laureato in Ingegneria Elettrotecnica 56 anni fa ed in Scienze dell'infirmazione quasi 28 anni fa – sono ormai vecchio nella testa! (Forse alle soglie della cosiddetta "demenza senile")
Spero (ti auguro) che intervengano frequentatori come orssoulx e/o axpgn e/o [i]giammaria/i] ... o altri in grado di capire e affrontare correttamente questo esercizio (per me più oscuro degli oracoli della sibilla cumana).
_______
Immagine
Immagine
Avatar utente
Erasmus_First
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 765 di 1805
Iscritto il: 11/12/2014, 11:41

Re: SNS 2017 - n.2

Messaggioda veciorik » 02/02/2018, 22:20

Testi ufficiali qui: sns prove di ammissione al I anno di scienze 2017 18
Io non mi cimento. Non l'ho neppure letto con attenzione.
"Dietro ogni problema c'è un'opportunità" - "Nelle prove naturali non si deve ricercare l'esattezza geometrica" - "Stimo più il trovar un vero, benché di cosa leggiera, che 'l disputar lungamente delle massime questioni senza conseguir verità nissuna" (Galileo Galilei)
Avatar utente
veciorik
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 295 di 1135
Iscritto il: 07/03/2014, 23:42
Località: stra(VE)

Re: SNS 2017 - n.2

Messaggioda Jeff18 » 02/02/2018, 22:57

In effetti il testo è proprio quello postato da Luca21.
Sarebbe bello che qualcuno postasse la soluzione :D
Allegati
provadiammissioneali201718_pag1.pdf
(85.22 KiB) Scaricato 121 volte
Jeff18
New Member
New Member
 
Messaggio: 16 di 56
Iscritto il: 03/04/2016, 13:48

Re: SNS 2017 - n.2

Messaggioda giammaria » 03/02/2018, 12:01

Dato che Erasmus_First chiama in causa anche me, scrivo l'interpretazione che ho dato al testo; può senz'altro essere sbagliata, stante le mie scarse conoscenze di analitica tridimensionale. Aggiungo poi il mio tentativo di soluzione, non concluso.
a) La formula $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $ significa che, pensando ad un asse $z$ verso l'alto, dobbiamo stare al di sotto dei due piani $z=alpha x+beta y$ e $z=gamma x+delta y$; analogamente, dobbiamo stare al di sotto del piano $z=rx+sy$.
b) La $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $ significa che $alpha, beta$ non sono contemporaneamente nulli.
c) La frase "... che le rette $ \alpha x + \beta y = 0 $ e $ \gamma x + \delta y = 0 $ siano distinte" è riferita ad un piano $(x,y)$ e significa solo che i coefficienti non sono proporzionali.
d) La frase "nella soluzione potete assumere che ..." significa che non è richiesto l'esame dei casi particolari in cui i punti b,c non sono verificati.

Tentativo di soluzione
Considero cosa succede in un piano del tipo $y="costante"$ e ne faccio un grafico con assi $(x,z)$: i tre piani di cui al punto a diventano tre rette e le prime due possono essere incidenti o parallele. Ho considerato solo il caso in cui si incontrano in un punto $P$: allora dobbiamo stare nell'angolo sottostante a queste due rette e la terza retta non deve attraversarlo. A questo scopo il suo coefficiente angolare deve essere compreso fra $alpha$ e $gamma$ e la posizione più bassa possibile si ha quando la terza retta passa anch'essa per $P$, cioè appartiene al fascio individuato dalle altre due. Non ho proseguito, dato che il problema mi interessava poco.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
giammaria
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4766 di 9469
Iscritto il: 29/12/2008, 22:19
Località: provincia di Asti

Re: SNS 2017 - n.2

Messaggioda giammaria » 06/02/2018, 10:22

Credo di aver trovato la soluzione.
I piani $z=alpha x+ beta y$ e $z=gamma x+ delta y$ passano entrambi per l'origine (0,0,0) e sono distinti, quindi si intersecano lungo una retta passante per l'origine; $S$ è uno dei diedri da essi formati. Il piano $z=rx+sy$ non deve attraversare quel diedro e perciò neanche quella retta, quindi gli è parallelo; ha però l'origine in comune con quella retta, che quindi giace interamente nel piano. Ne consegue che questo piano appartiene al fascio individuato dai primi due piani.
Facendo fascio con i parametri $u_1, u_2$ otteniamo

$u_1 z+u_2 z=u_1(alpha x+ beta y)+u_2(gamma x+ delta y)$

Se $u_1+u_2=0$ otteniamo il piano passante per l'asse $z$, che non ci interessa; escludendo questo caso, abbiamo

$z=(u_1 alpha+u_2 gamma)/(u_1+u_2) x+(u_1 beta+u_2 delta)/(u_1+u_2) y=rx+sy$
avendo indicato con $r,s$ i due coefficienti.
Fatta ora la sostituzione $t=u_1/(u_1+u_2)$ (da cui ricaviamo $1-t=u_2/(u_1+u_2)$), abbiamo

$r=alpha t+gamma(1-t);" "" "s=beta t+ delta(1-t)$

Dobbiamo ora imporre che il terzo piano non attraversi il diedro. Notiamo che deve essere falsa almeno una delle formule $gamma=alpha$ e $delta=beta$ perché altrimenti i due piani coinciderebbero; senza perdita di generalità, possiamo supporre che sia $gamma>alpha$.
Le intersezioni della figura col piano $y=y_0$ sono tre rette di coefficiente angolare $alpha, gamma, r$; la terza retta non è interna alla altre due (se non vi è chiaro, leggete il mio precedente intervento) se
$alpha<=r<=gamma=>alpha<=alpha t+gamma (1-t)<=gamma=>{(alpha<=alpha t+gamma(1-t)),(alphat +gamma(1-t)<=gamma):}$
Con pochi passaggi e ricordando poi che $gamma-alpha>0$ arriviamo a
${((gamma-alpha)(1-t)>=0),((gamma-alpha)t>=0):}=>{(t<=1),(t>=0):}=>0<=t<=1$

Nota: nel fare fascio sarebbe stato più rapido usare direttamente i coefficienti $t,1-t$, ma poi sarebbe stato necessario spendere qualche frase per mostrare che si è nel caso generale; per questo ho preferito usare i coefficienti $u_1,u_2$
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
giammaria
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4767 di 9469
Iscritto il: 29/12/2008, 22:19
Località: provincia di Asti


Torna a Scervelliamoci un po'

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite