Cerchio e triangolo

[Erasmus_First]

Rilancio!
[...]
Modifico il quiz come segue:
Trovare le lungheze dei lati di un triiangolo sapendo
• che i lati sono interi;
• che la somma di due lati supera di due unità il terzo lato;
• che l'area è pure un numero intero e
• che il raggio del cerchio inscritto è un dato numero intero $r.$

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Eureka!
Il mio quiz ha semopre almeno una soluzione.
Precisamente, ha una sola soluzione per $r=1$; e per $r$ intero maggiore di 1 ha sempre più di una soluzione.
La ricerca è facile perché, mentre nel problema di dan95 occorreva risolvere una equazione diofantea (in due incognite) di 2° grado, nel mio quiz l'equazione da risolvere è di 1° gradp. Precisamente (posto per comodità $x = a-1$ e $y = b - 1$) il quadrato del raggio del cerchio inscritto viene
$r^2 = (xy)/(x+y+1)$
da cui, esplicitando $y$:
$y = r^2·(1 + (r^2 + 1)/(x-r^2))$.

Ho trovato che, se diciamo $[a, b, c]$ la terna dei lati [interi] di un triangolo, un triangolo con
• i lati interi,
• l'area intera.
• il lato più lungo $c$ due unità in meno della somma degli altri due lati (coè $c = a+b - 2$) e
• il raggio $r$ del cerchio inscritto intero e positivo di valore arbitrario
è quello con le seguenti lunghezze dei lati:
• $a = r^2 + 2$;
• $b = (r^2 + 1)^2 = r^4 +2r^2 + 1$;
• $c = r^4 +3r?2 + 1 = a+b . 2$.
Se poniamo $p = (a + b + c)/2$, con questi valori di $[a, b, c]$ otteniamo;
$2p = a+b+c = 2a+2b-2$ ⇔ $p=a+b-1 = r^4 + 3r^2 + 2 = (r^2+1)·(r^2 + 2)$;
$p-a = r^4 ·+2r^2 = r^2·(r^2 + 2)$;
$p-b = r^2 +1$;
$p-c = 1$.
Pertanto risulta $p(p-a)(p-b)(p-c) = r^2·(r^2+1)^2·(r^2+2)^2$ e quindi larea $S$ viene
$S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = r(r^2+1)(r^2+2)$

Per esenpio, un triangolo con cerchio inscritto di raggio $r=5$ è quello con i lati
$[a, b, c] = [5^2 + 2, (5^2 +1)^2, 5^4 + 3 ·5^2 + 1] = [27, 676, 701]$
la cui area è $S = 5·(5^2+1)·(5^2+2) = 5·26·27 =3510$
e il cui semiperimetro è
$p = (5^2 +1)·5^2 + 2) = 26·27 = 702$,

Ho calcolato tutti i triangoli con le dette proprietà per $r$ da 1 a 6 inclusi,
Domani calcolo anche i trinagoli con $r = 7$ ... e di consequenza scoprirò quello con area 2016, ossia quello che risolve il quiz di dan95.
Ecco intanto i triangoli con $r = 6$:
[38, 1369, 1405]; S = 8136; p = 1406.
[39, 703, 740]; S = 4445; p = 741.
[40, 481, 519]; A = 3120; p = 520.
[41, 270, 409]; S = 2460; p = 410.
[43, 259, 300]; S = 1806; p = 301;
46, 185, 229]; S = 1380; p = 230.
[49, 148, 195]; S = 1176; p= 196.
[55, 111, 164]; S = 990; p = 165.
[73, 74, 145]; S = 876; p = 146.

Si osservi che c'è sempre la soluzione
$a = 2r^2 + 1$;
$b = 2r^2 + 2 = a + 1$;
$c = 4r^2 + 1 = a+b - 2$.

_______

[/quote]

[orsoulx]

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La soluzione si può 'umanizzare' assumendo come incognite $ x.y $ due delle lunghezze dei segmenti di tangenza che congiungono i vertici del triangolo alla circonferenza inscritta; la terza vale, ovviamente $1$ ed il semiperimetro sarà $ p= x+y+1$.
Abbiamo $ A=rp; A^2=xyp $ da cui si ottiene $ x+y=p-1=A/r-1; xy=r A$, un sistema simmetrico con risolvente $ z^2-(A/r-1)z+rA=0 $ che ha discriminante $ Delta=(A/r-1)^2-4rA $.
$ Delta >=0 rightarrow A^2/r^2-4rA >Delta>=0 $ da cui $ r^3 < A/a rightarrow r<8 $
Occorre ancora procedere per tentativi, ma ne bastano sei ($ r=5 $ non divide $2016$ ) per accertarsi che solamente per $ r=7 $ il discriminante è un quadrato perfetto.

@Erasmus,
per il tuo quiz (dove la terza condizione è superflua) sono arrivato anch'io ai medesimi risultati: per ogni valore di $ r $ v'è un numero di soluzioni uguale a quello dei modi distinti in cui si può scomporre $ r^2(r^2+1) $ come prodotto di due fattori. Questo numero è, com'è noto, metà del prodotto dei successori degli esponenti con cui compaiono i fattori primi nella scomposizione di $ r^2(r^2+1) $. Abbiamo quindi una sola soluzione per $r=1$, tre soluzioni per $r=2 $, cinque soluzioni per $ r=4 $ ed almeno sei per ogni altro valore di $ r$.
Tre di queste soluzioni si possono esplicitare una volta per tutte e sono, in ordine di area della superficie:
$ A=2r(2r^2+1); {a,b}={2r^2+1, 2r^2+2 } $
$ A=(r(r^2+2)(r^2+3))/2; {a,b}={r^2+3,1+ (r^2(r^2+3))/2 } $
$ A=r(r^2+1)(r^2+2)); {a,b}={r^2+2,(r^2+1)^2 } $.
Naturalmente per $ r=1 $ queste soluzioni coincidono.

Ciao

[Erasmus_First]

Metto una tabella (in formato immagine PNG) con tutti i triangoli soluzioni del mio quiz per raggio rdel cerchio inscritto [intero] compreso tra 1 e 7 inclusi.

Come sottoprodotto, risulta che la soluzione del quiz di dan5 di apertra di questo thread] è il trinagolo che sta nella 6ª riga dell'ultima sezione, quella per $r = 7$. Cioè:
Lati [a, b, c] = [64, 225, 287]; Area S = 2016; Semiperimetro p = 288;
Raggio del cerchio inscritto r = S/p = 7.
_________

[giammaria]

Bellissima la soluzione di orsoulx! (Anche se qualche parola di spiegazione in più sarebbe stata gradita.)
E mi piace anche l'interpretazione geometrica di $x,y$, estendibile a qualsiasi triangolo.

[Erasmus_First]

[...] in esercizi di questo tipo, il proporre di ricorrere al computer equivale al dichiararsi sconfitti e suggerisco [...] di continuare a cercare [...]

Col senno di poi (ossia: supponendo che il quiz di dan95 mi arrivi dopo aver studiato come sono i triangoli di lati [a, b, c] interi con c = a+b -2, area S intera e raggio r del cerchio inscritto intero), posso accogliere l'osservazione di giammaria (che sarebbe meglio poter far a meno del computer ... che tuttavia è sfruttabile "intelligerntemente" in processi "esaustivi", come potrebbe essere quello di risolvere per tentativi il quiz di dan95 in questiione).

Allora ... accontento giammaria e faccio tutto senza computer (facendo a mano anche le eventuali operazioni tra numeri interi.
(E chiedo scusa agli eventuali lettori per la prolissità del testo che ne uscirà ).

Per raggio r (intero e maggiore di 1) del cerchio inscritto ci sono più triangoli di lati [a, b, c] interi con c = a+b -2 e area S intera.
I lati di quello con l'area minima sono $[a, b, c] = [2r^2+1, 2r^2+2, 4r^2 +1]$ e l'area è $S_m = 2r(2r^2+1)$.
I lati di quello con l'area massima sono $ [r^2+2, (r^2+1)^2, r^4 + 3r^2 +1]$ e l'area è $S_M = r(r^2+1)(r^2+2)$.

Deve essere r > 4 perchè l'area massima del triangolo con r = 4 è $4·(4^2+1)(4^2+2) = 1224 < 2016$.
Deve essere r < 8 perchè l'area minima del triangolo con r = 8 è $2·8·(2·8^2 + 1) +1 = 2064 > 2016$.
Posto (per comodità) $x= a - 1$, $y = b - 1$ e $p = (a+b+c)$/2, risulta in generale $p = x+y+1$ e:
$p-a=y$; $p-b =x$; $p-c = 1$; $p(p-a)(p-b)(p-c) = S^2$ ⇒ $xy·(x + y + 1) = S^2$ ∧
∧ $(xy)/(x+y+1) = r^2$.
Pertanto, risolvendo rispetto alle incognite provvisorie $s= x+y$ e $q=xy$, risulta in generale:
$xy = rS$ ∧ $x+y = (S-r)/r$. [*]
Allora per $S=2016$ non può essere $r = 5$ perché con $r = 5$ non viene intera la somma $x+y$ e quindi non vengono interi i lati.
Per $r=6$, [e $S = 2016$], dalle [*] viene:
$xy = 6·2016 = 12096$ ∧ $x+y = (2016-6)/6 = 335$.
Risolvendo ora il sistema $xy = 12096$ ∧ $x+y = 335$ si trova che x ed y risultano non nteri (e nemmeno razionali) dato che
$335^2 - 4·12096 = 112225 - 48384 = 63841$ e $252 ^2 = 635404 < 63841 < 64009 = 253^2$.
Dunque, se esirte una soluzione al quiz di dan95 questa non può essere che per $r=7$. Per tale r dalle [*] viene:
$x+y = (2016-7)/7 = 287$ ∧ $xy = 7·2016 = 14112$
e quindi
$287^2 - 4 14112) = 82369 - 56448 =25921 > 0$; $sqrt25921 = 161$.
$x = (287-161)/2 = 63$; $y = (287+161)/2 = 224$. [La cercata soluzione c'è! ]

In colclusione, l'unico triangolo che risolve il quiz di dan95 è quella con i seguenti lati $[a, b, c]$:
$a = x+1 = 64$; $b = y+1 = 225$; $c = a +b – 2 = x+y = 287$.
[Il perimetro richiesto da dan95 è $a+b+c = 2p =2(x+y+1) = 2·288 = 576$).
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P.S.
Oops!
Ho editato per modificare (correggendo un grosso "errore di sbaglio")
Ho sostituito la verifica che non può essere r = 8 con la verifica che non può essere r = 6.
Infatti solo ora mi sono accorto che mncava la verifica che non può essere $r = 6$ e che la verifica per $r=8$ era invece superflua avendo già mostrato che l'area minima dei triangoli con r = 8 è maggiore di 2016 (che è il valore dell'area assegnato dal testo del quiz).
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[giammaria]

Sì, adesso la tua risposta mi piace. Il punto chiave (usato anche da orsoulx) è dato da
$xy = rS$ ∧ $x+y = (S-r)/r$. [*]
e vi aggiungi, dedotto dalle tue precedenti osservazioni, $4<r<8$: i tentativi si riducono a pochi valori di $r$ e questo non necessita del computer.
orsoulx aveva trovato la $r<8$ in altro modo, anch'esso decisamente apprezzabile; occorreva poi qualche tentativo un più, compensato però da qualche altro calcolo o ragionamento in meno.

[dan95]

Noto con piacere che vi ha preso questo problema... L'ho preso dalle internazionali della Bocconi