Ci provo con una dimostrazione un po' bizzarra (infatti non sono sicuro della sua veridicità):
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Proviamolo per assurdo.
Poiché la funzione ammette immagini
a e
b, per il
Teorema dei valori intermedi la funzione assume valori in tutto l'intervallo [a,b].
Supponiamo esista \(\displaystyle y_1 \in [a,b] \) t.c. \(\displaystyle y_1 \not\in A \). Allora possiamo domandarci se \(\displaystyle [a,y_1[ \subset A \) e supporre, come fatto prima, che esista \(\displaystyle y_2 \in [a,y_1[ \) t.c. \(\displaystyle y_2 \not\in A \).
Iterando il ragionamento possiamo costruire la successione \(\displaystyle \{y_n\}_{n\in\mathbf{N}} \) tale che \(\displaystyle y_n \in [a, y_{n-1}[ \) e \(\displaystyle y_n \not\in A \), cioè la successione di tutte le immagini di f che non appartengono ad A. Per la continuità di f si ha:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n = a \Rightarrow a\not\in A\)
Assurdo.
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In realtà non convince neanche a me. Così facendo, sto supponendo che esista una quantità numerabile di elementi tra a e b che non appartengono ad A. Con questa supposizione forse, magari aggiustandola da qualche parte, potrebbe essere una dimostrazione (forse). Ma supponendo che ne esista uno, o comunque una quantità finita, credo che non mi porti a nulla. Che ne pensate (se ne valga la pena pensarci)?
