[Teoria dei numeri] Il coefficiente multinomiale è intero

[dan95]

Siano $n_i$, con $i=1, \cdots, k$, interi positivi dimostrare che
$$\frac{(n_1+\cdots+n_k)!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$
è intero

[axpgn]

Una domanda ...

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Ma che dimostrazione vuoi? Se non erro, quello è il numero di permutazioni con ripetizione di $n$ oggetti di cui $k_i$ uguali, quindi basta utilizzare quella dimostrazione ... no?

Cordialmente, Alex

[dan95]

Quella che sai

[axpgn]

Mah, mi sembra troppo semplice per i TUOI gusti

Allora ...

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... ti metto un link perché non ho voglia di scriverla ...

Cordialmente, Alex

[dan95]

E mica puoi pretendere che uno si accontenti di quella "dimostrazione/esempio"

[axpgn]

Ma hai cliccato su "Ho bisogno di una spiegazione più approfondita" ?

[dan95]

Sì ho cliccato ma non era la dimostrazione che avevo in mente

[axpgn]

Infatti all'inizio ti ho chiesto che dimostrazione volevi ... ero abbastanza sicuro che fossi interessato a qualcosa di diverso dalle permutazioni ...

[dan95]

Ok niente permutatio

[axpgn]

Vediamo se questa ti va bene ...

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$((n_1+n_2+...+n_k)!)/(n_1!*n_2!*...*n_k!)=$


$([1*2*...*n_1][(n_1+1)*...*(n_1+n_2)]*...*[(n_1+n_2+...+1)*...*(n_1+n_2+...+n_k)])/(n_1!n_2!*...*n_k!)$

$[1*2*...*n_1]/(n_1!)*[(n_1+1)*...*(n_1+n_2)]/(n_2!)*...*[(n_1+n_2+...+1)*...*(n_1+n_2+...+n_k)]/(n_k!)$

$((n_1),(n_1))*((n_1+n_2),(n_2))*...*((n_1+n_2+...+n_k),(n_k))$

Quest'ultima espressione è un prodotto di interi.

CVD

Cordialmente, Alex