Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda mklplo » 20/02/2018, 15:01

Salve,in questo topic,vorrei proporvi questo esercizio:
"Siano $d_1,....,d_n$ numeri reali positivi,con $n>=2$.Si trovi una condizione necessaria e sufficiente,perché esiste una successione $p_0,....,p_n$ di punti del piano euclideo tali che:
1)per ogni $i=1,...,n$,la distanza tra $p_i$ e $p_(i-1)$ è $d_i$ e
2)$p_n=p_0$"
Io penso di aver trovato una soluzione anche se non sono poi così sicuro.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Semplicemente,definisco con \( \overrightarrow{p_{i-1}p_i} \) un vettore che parte da $p_{i-1}$ e arriva $p_i$;poi pongo \( \sum_{i=1}^{n} \frac{\overrightarrow{p_{i-1}p_i}}{d_i}=0 \),il che soddisfa la seconda richiesta e dato che $d_i$ è sempre maggiore di $0$(non avendo mai il caso che due punti consecutivi coincidano),penso che basti a soddisfare la prima richiesta;anche se ammetto che l'esercizio,non penso di averlo capito proprio bene.
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Re: Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda veciorik » 20/02/2018, 17:15

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se ho ben capito si tratta di imporre una condizione alle lunghezze dei lati di una spezzata chiusa.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Basta che ogni lato sia minore o uguale alla somma di tutti gli altri lati ?

Correggo:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Basta che ogni lato sia minore della somma di tutti gli altri lati.
Se un lato fosse maggiore della somma degli altri, la spezzata resta aperta.
Se un lato fosse uguale alla somma degli altri, i punti sarebbero tutti allineati: a me non piace chiamare "spezzata" la figura risultante. Non so cosa dica la teoria, ma a me non piace.
Prendi ad esempio tre punti, ossia un triangolo; ogni lato è sicuramente minore della somma degli altri due.
Se parti da quattro punti $p_0, p_1, p_2, p_3$ e trascini $p_3$ su $p_0$ ti ritrovi con tre punti, la spezzata si chiude e forma un triangolo.
Ultima modifica di veciorik il 20/02/2018, 18:31, modificato 1 volta in totale.
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Re: Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda mklplo » 20/02/2018, 18:07

come già detto,la risposta esatta non la so,ma potresti spiegarmi,in che modo la condizione che hai messo tu implica anche la seconda richiesta?
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Re: Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda veciorik » 20/02/2018, 18:33

Ho corretto sopra.
Ti soddisfa ?
Cosa intendi per seconda richiesta ?
"Dietro ogni problema c'è un'opportunità" - "Nelle prove naturali non si deve ricercare l'esattezza geometrica" - "Stimo più il trovar un vero, benché di cosa leggiera, che 'l disputar lungamente delle massime questioni senza conseguir verità nissuna" (Galileo Galilei)
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Re: Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda mklplo » 20/02/2018, 18:49

per secondo richiesta intendo,che la condizione sulle distanze implichi che $p_0=p_n$,ma ovviamente potrei( molto probabilmente)aver interpretato male la domanda.
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Re: Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda giammaria » 21/02/2018, 10:54

Non so la soluzione, ma le risposte date finora non mi convincono.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
E' senz'altro vero, come detto da mklplo, che la somma dei vettori deve essere zero, ma direi che questo è solo il modo di formalizzare la tesi. Inoltre non viene sfruttata l'ipotesi che i vettori abbiano tutti la stessa lunghezza, e di solito non si danno ipotesi inutili.
La risposta di veciorik dà una condizione necessaria ma non sufficiente perché non garantisce che l'ultimo vettore faccia tornare al punto di partenza; al massimo si può dire che ogni vettore deve essere uguale (e contrario) alla somma degli altri, ma questo è solo un altro modo di scrivere la soluzione di mklplo.

Butto là una mia idea, che però non ho veramente esaminato.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La condizione richiesta è che la somma algebrica delle inclinazioni dei vettori sia un multiplo dell'angolo piatto (o forse che sia zero?).
Le inclinazioni possono essere riferite forse ad una qualsiasi retta fissa, o forse al lato precedente; occorre poi una regola per decidere il segno.
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Re: Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda .Ruben. » 21/02/2018, 12:19

La soluzione é che ogni lato sia minore della somma di tutti gli altri
Per dimostrare che la condizione é sufficiente: https://mathoverflow.net/questions/9661 ... m-segments
Oppure
https://arxiv.org/abs/1506.08069
Non riesco a trovare una soluzione che non usi geometria iperbolica o roba complicata(eppure deve esserci)
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Re: Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda Vincent46 » 21/02/2018, 12:44

Mi sfugge qualcosa nel mio ragionamento?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Supponendo che i $d_i$ siano dati in ordine crescente, condizione necessaria e sufficiente è che $d_n \leq d_1 + ... + d_{n-1}$ (che equivale alla condizione che ogni lato che sia minore o uguale della somma degli altri). Che sia necessaria è abbastanza ovvio. Per la sufficienza, prendiamo tre segmenti $s_1, s_2, s_3$ di lunghezze rispettivamente $d_n, d_{n-1}, d_{1} + ... + d_{n-2}$. Questi formano un triangolo per ipotesi.
Questa costruzione si può generalizzare facilmente nel caso in cui non mi andassero bene terne di punti allineati.
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Re: Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda dan95 » 21/02/2018, 15:14

Se ci fate caso è una generalizzazione della condizione per l'esistenza di un triangolo cioè $d_1+\cdots+d_n>2\text{max}(d_1,\cdots,d_n)$
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Re: Un Esercizio su una successione di punti

Messaggioda giammaria » 21/02/2018, 15:21

Rileggendo l'enunciato, mi rendo conto che l'avevo frainteso; mi scuso.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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