Traccia:Siano $d_1,....,d_n$ numeri reali positivi, con $n \geq 2$.
Si trovi una condizione necessaria e sufficiente, affinchè esista una successione $p_0,....,p_n$ di punti del piano euclideo tali che:
Per ogni $i=1,...,n$, la distanza tra $p_i$ e $p_{i-1}$ è di $d_i$;
$p_n=p_0$.
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Tesi:
La condizione necessaria e sufficiente richiesta è che $max(d_i) < \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} d_i$ (T).
1) Dimostro innanzitutto che (T) è condizione necessaria.
1.0) Per fare ciò, interpreto la successione di punti come la successione dei vertici di un poligono chiuso e la successione di reali come la successione delle lunghezze dei suddetti lati. Detto questo, la necessarietà di (T) è equivalente all'affermare che ogni poligono chiuso con lati di lunghezza $d_1, d_2, ..., d_n$ soddisfa $max(d_i) < \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} d_i$.
1.1) Prendo il generico poligono nel piano euclideo e suppongo, senza perdita di generalità, che $p_1 p_n$ sia il suo lato di lunghezza massima. Dimostro quindi, per induzione, che: $dist(p_1, p_k) < \sum_{i=1}^{k-1} dist(p_i, p_{i+1})$ per $k=3, ..., n$.
Per comodità indico con $|p_i p_j|$ la distanza tra $p_i$ e $p_j$.
Base induttiva: $|p_1 p_3| < |p_1 p_2| + |p_2 p_3|$ per la disuguaglianza triangolare
Ipotesi induttiva: Suppongo che la tesi valga per un $k$ fissato
Passo induttivo: Dimostro che dall'ipotesi induttiva si può dedurre la verità della tesi per k+1.
Dalla disuguaglianza triangolare: $|p_1 p_{k+1}| < |p_1 p_k| + |p_k p_{k+1}|$.
Dall'ipotesi induttiva: $|p_1 p_k| < \sum_{i=1}^{k-1} |p_i p_{i+1}|$.
Dunque: $|p_1 p_{k+1}| < \sum_{i=1}^{k} |p_i p_{i+1}|$ e la tesi è dimostrata per induzione.
Ponendo $k=n$ ottengo: $|p_1 p_n| < \sum_{i=1}^{n-1} |p_i p_{i+1}|$, ossia: $d_n < \sum_{i=1}^{n-1} d_i \Rightarrow 2 d_n<\sum_{i=1}^{n} d_i \Rightarrow max(d_i)< \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} d_i$.
Ho quindi dimostrato che la (T) è condizione necessaria.
2) Dimostro che la (T) è condizione sufficiente
2.0) Devo dimostrare quindi che, data (T) vera per una successione $d_i$, è possibile costruire un poligono chiuso che ha i $d_i$ per lati.Dimostrerò di più, ossia che esiste un poligono convesso e ciclico con i $d_i$ come lunghezze dei lati.
Vi possono essere geometricamente due casi, in funzione dei $d_i$:
(a) Il poligono può essere contenuto in una semicirconferenza
(b) Il poligono non può essere contenuto in una semicirconferenza
Geometricamente (basta osservare un disegno per rendersene conto) questo implica che:
nel caso (a) la somma degli angoli al centro sottesi ai lati deve realizzare l'angolo giro
nel caso (b) l'angolo al centro sotteso al lato massimo deve eguagliare la somma degli angoli al centro sottesi a tutti gli altri lati
2.1) Quindi devo dimostrare che, dati $d_1, ..., d_n$, tali che $max(d_i) < \sum_{i=1}^{n} d_i$, può essere costruito un poligono come in (a) oppure come in (b) che ha i $d_i$ come lunghezze dei lati.
Matematicamente, l'angolo al centro sotteso al generico lato di lunghezza $d_i$ vale $2 arcsin(\frac{di}{2R})$, dove $R$ è il raggio della circonferenza circoscritta al poligono.
Quindi devo dimostrare, con le suddette ipotesi, che:
$\exists R: 2 \sum_{i=1}^{n} arcsin(\frac{d_i}{2R}) = 2 \pi \quad\vee$
$\exists R: 2 \sum_{i=1}^{n} arcsin(\frac{d_i}{2R}) - 2 arcsin(\frac{max(d_i)}{2R})=2arcsin(\frac{max(d_i)}{2R})$.
Suppongo innanzitutto, per semplificare le notazioni e senza perdita di generalità, che $max(d_i)=d_n$.
Controllo se mi trovo nel caso (a): in tal caso dovrebbe essere:
$\frac{1}{\pi} \sum_{i=1}^{n} arcsin(\frac{d_i}{2R}) = 1$. Sia $C=\frac{1}{R}$ e $f(C)= \frac{1}{\pi} \sum_{i=1}^{n} arcsin(\frac{C d_i}{2})$.
Noto innanzitutto che $f(C)$ è continua e crescente. Noto inoltre che, poiché il poligono cercato avrà un lato di lunghezza $d_n$, esso deve essere minore del diametro: quindi $d_n < 2R \Rightarrow R> \frac{d_n}{2} \Rightarrow C < \frac{2}{d_n}$. Dunque il valore massimo di $f(c)$ si avrà per $C = \frac{2}{d_n}$. Quindi, se $f(\frac{2}{d_n}) \geq 1$, per il teorema degli zeri $\exists C_1: f(C_1)=1$ e posso dire di trovarmi nel caso (a).
Al contrario, se $f(\frac{2}{d_n}) < 1$, non esiste $C_1: f(C_1)=1$ perchè $f$ è continua e crescente: si entra quindi nel caso (b).
Devo quindi dimostrare che, se $f(\frac{2}{d_n}) < 1$, $\exists R: \sum_{i=1}^{n-1} arcsin(\frac{d_i}{2R})=arcsin(\frac{d_n}{2R})$.
Sia $g(C)=\frac{1}{\pi} [-arcsin(\frac{C d_n}{2}) + \sum_{i=1}^{n-1} arcsin(\frac{C d_i}{2})]$.
Noto che $g(C) = f(C) - \frac{2}{\pi} arcsin(\frac{C d_n}{2})$ e che $g(0)=0$.
Calcolo $g'(C)=\frac{1}{\pi} [-\frac{d_n}{2} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{C d_n}{2})^2}} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{d_i}{2} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{C d_i}{2})^2}}]$.
Dunque $g'(0)= \frac{1}{\pi} [-\frac{d_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{d_i}{2}]$, che è maggiore di 0 se è vera (T), e inoltre $g(\frac{2}{d_n}) = f(\frac{2}{d_n}) - \frac{2}{pi} arcsin(\frac{d_n}{2} \frac{2}{d_n}) = f(\frac{2}{d_n}) - 1 < 0$.
Quindi, la funzione $g$ vale 0 in 0, ed è localmente crescente in 0, assumendo perciò in un intorno destro di 0 valori positivi; al contrario in $\frac{2}{d_n}$ la funzione assume un valore negativo. Allora, per il teorema degli zeri, $\exists C_0: g(C_0)=0$, da cui la tesi.
Q.E.D.
