orsoulx ha scritto:Testo nascosto, fai click qui per vederlo
In sintonia con Alex, ritengo che Erasmus abbia trovato le misure dei lati proposti, partendo dalla terna pitagorica $ 3, 4, 5 $ e cercando il centro $ P $ della circonferenza tangente esternamente alle tre circonferenze, a coppie mutuamente tangenti, aventi centro in un vertice e raggio uguale ai segmenti di tangenza condotti da quel vertice alla circonferenza inscritta nel triangolo. Le distanze di $ P $ dai vertici del triangolo saranno sicuramente razionali: si dimostra facilmente che questo avviene sse l'area del triangolo è razionale, e questo è, ovviamente, vero per un triangolo pitagorico. Il passaggio dai razionali agli interi ha imposto le misure presentate.
Ho proceduto proprio così!
[Lo si capisce anche da quel che ho scritto per
giammaria nel precedente
post ]
Tre cerchi di raggi rispettivi 1, 2 e 3 sono tangenti a due a due se e solo se i loro centri stanno ai veertici di un triangolo rettangolo di lati [3, 4, 5]. Incastrato tra i tre cerchi ci sta un cerchietto tangente a tutti tre di raggio $r = 6/23$.
Ho allora moltiplicato tutto per 23 per avre intere le distanze del centro del cerchietto [incastrato negli altri tre] dai vertici. Vistio che che in tal modo vengono intere anche le distanze dai cateti ma non intera quella dall'ipotenusa, ho moltiplicato tutto per il minimo intero che rendesse intera anche quest'ultima distanza (cioè per 5).
Dati [nel piano] tre cerchi tangenti a due a due, il problema di trovare il raggio di un cerchio tangente a tutti quei tre risulta algebrico di 2° grado. In generale ci sono dunque due cerchi di raggi diversi entrambi tangenti a quei tre cerchi. Uno è quello appena detto (incastrato tra i tre cerchi, e quindi tangente esternamente a loro e di raggio minore di ciascono di loro). L'altro, a seconda delle reciproche dimensioni dei tre cerchi, può essere tangente internamente [a tutti quei tre, che quindi stanno dentro a lui) oppure essere ancora tangente esternamente (se uno di quei tre è abbastanza piccolo rispetto agli altri due) o anche degenerare in una retta [tangente a tutti e tre quei cerchi, e da considerare come cerchio di raggio infinito].
Dai punti esterni ad un cerchio questo è visto "convesso". Invece è visto "concavo" dai suoi punti interni, Tale è per i tre cerchi tangenti a due a due l'eventuale cerchio tangente
internamente a tutti e tre. Con la convenzione di considerare negativo il raggio di un eventuale cerchio tangente
internamente ai tre cerchi tangenti a due a due, detti
a,
b e
c i raggi di questi ed $r$ il raggio di un cerchio tangente a tutti e tre, fatti i dovuti conti risulta:
$1/r = 1/a + 1/b + 1/c ±2sqrt(1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca))$.
orsoulx ha scritto:[...] questo avviene sse l'area del triangolo è razionale
. "questo" coeme si legge nel testo originale citato più opara) era il fatto che fossero razionali le distanze del centro del quarto cerchio (quello incastrato tra i tre cerchi tangenti a due a due) dai centri di essi.
Qui
orsoulx sottintende che anche i lati del triangolo sono pure razionali. Vedo ora che invece lo dice espressamente nella spiegazione data su specifica richiesta d
giammaria. A rigore, la precisazione non è necessaria [dato che le distanze tra il centro di un cerchio ed i centri di più cerchi a lui tangenti non possono essere commensurabili con tutti i raggi di quelli se i loro raggi non sono pure tutti commensurabili. Tuttavia penso che non sia male precisare
espressamente che i lati del triangolo (cioè le distanze tra i centri dei tre cerchi tangenti a due a due) sono razionali (come appunto precisa
orsoulx nella speigazione per
giammaria)
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