Re: Distanze intere dai vertici e dai lati

Messaggioda Erasmus_First » 27/02/2018, 12:44

axpgn ha scritto:[...] qualche tempo fa avevo letto delle proprietà che aveva il punto medio del segmento che collega l'ortocentro con il circocentro ... sai quali sono? Anzi, modifico: sapete quali sono? (a te non lo chiedo perchè lo sai di sicuro ... :D )
No, non lo so! E mi pare di non averlo mai saputo.
Dico coisì perché, essendo ormai "smemorino", non solo ho dimenticato (tra l'altro, ... mooolto altro!) parecchie nozioni di matematica, ma anche se mai mi sono state insegnate e/o se mai le ho inconrate nella mia ormai lunga vita.
Beh: dato che tu pensi che il punto medio del segmento di estremi ortocentro e circocentro ha qualche notevole proprietà che tu né io sappiamo ma che siano note a qualche lettore ... si faccia avanti qualcuno ne che sa (o ricorda) più di me.
[...]
Oops!
Vedo ora che c'è una risposta di orsoulx. Probabilmente (come sua consuetudine) viene a dirci qualcosa in più (e ... più in su!) di quanto già detto o già visto
.
Sospendo e vado a leggere orsoulx .
Ciao Alex, ciao a tutti!
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Re: Distanze intere dai vertici e dai lati

Messaggioda axpgn » 27/02/2018, 12:54

Erasmus_First ha scritto:... dato che tu pensi che il punto medio del segmento di estremi ortocentro e circocentro ha qualche notevole proprietà che tu né io sappiamo ma che siano note a qualche lettore ...

No, no, io lo so quali proprietà ha ... :D ... magari qualcuno riesce a scoprirle ... :wink:

Cordialmente, Alex
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Re: Distanze intere dai vertici e dai lati

Messaggioda giammaria » 27/02/2018, 15:48

@ orsoulx
Mi piacerebbe vedere la dimostrazione di una tua affermazione, quella che metto in spoiler.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
orsoulx ha scritto:Le distanze di $ P $ dai vertici del triangolo saranno sicuramente razionali: si dimostra facilmente che questo avviene sse l'area del triangolo è razionale

Ti ringrazio in anticipo.

@ Erasmus e axpgn
Per la retta in questione, io ricordo solo che si chiamava retta di Eulero; ho visto che Wikipedia ne parla, ma ora non ho tempo (né voglia) di leggerla.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Distanze intere dai vertici e dai lati

Messaggioda orsoulx » 27/02/2018, 16:55

@giammaria:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Siano $ a,b,c$ i lati (di misura intera) di un triangolo e $ s=p-a, t=p-b, u=p-c $ le lunghezze dei segmenti di tangenza che escono da ciascun vertice, questi sono anche i raggi di tre circonferenze con centro nei vertici e mutuamente tangenti a coppie. Per il T di Descartes, il raggio $ i $ della circonferenza tangente esternamente alle tre soddisfa la relazione:
$1/i=1/s+1/t+1/u+2 sqrt(1/(st)+1/(tu)+1/(us))=1/s+1/t+1/u+2/r $, con $r$ raggio della circonferenza inscritta nel triangono.
[Il radicando si può scrivere $(u+s+t)/(stu)=p/(stu)=p^2/(pstu)=p^2/A^2 $ (T. di Erone)].
Essendo le distanze di P dai vertici somme di $ i $ con $ s,t,u $ rispettivamente...

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
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Re: Distanze intere dai vertici e dai lati

Messaggioda Erasmus_First » 28/02/2018, 04:00

Erasmus_First ha scritto:
axpgn ha scritto:[...] qualche tempo fa avevo letto delle proprietà che aveva il punto medio del segmento che collega l'ortocentro con il circocentro ... sai quali sono? Anzi, modifico: sapete quali sono? (a te non lo chiedo perchè lo sai di sicuro ... :D )
No, non lo so! E mi pare di non averlo mai saputo.
Dico coisì perché, essendo ormai "smemorino", non solo ho dimenticato (tra l'altro, ... mooolto altro!) parecchie nozioni di matematica, ma anche se mai mi sono state insegnate e/o se mai le ho inconrate nella mia ormai lunga vita.
Beh: dato che tu pensi che il punto medio del segmento di estremi ortocentro e circocentro ha qualche notevole proprietà che tu né io sappiamo ma che siano note a qualche lettore ... si faccia avanti qualcuno che ne sa (o ricorda) più di me.
[...]
Oops!
Vedo ora che c'è una risposta di orsoulx. Probabilmente (come sua consuetudine) viene a dirci qualcosa in più (e ... più in su!) di quanto già detto o già visto
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Sospendo e vado a leggere orsoulx .
Ciao Alex, ciao a tutti!
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Re: Distanze intere dai vertici e dai lati

Messaggioda Erasmus_First » 28/02/2018, 06:03

orsoulx ha scritto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
In sintonia con Alex, ritengo che Erasmus abbia trovato le misure dei lati proposti, partendo dalla terna pitagorica $ 3, 4, 5 $ e cercando il centro $ P $ della circonferenza tangente esternamente alle tre circonferenze, a coppie mutuamente tangenti, aventi centro in un vertice e raggio uguale ai segmenti di tangenza condotti da quel vertice alla circonferenza inscritta nel triangolo. Le distanze di $ P $ dai vertici del triangolo saranno sicuramente razionali: si dimostra facilmente che questo avviene sse l'area del triangolo è razionale, e questo è, ovviamente, vero per un triangolo pitagorico. Il passaggio dai razionali agli interi ha imposto le misure presentate.
Immagine Ho proceduto proprio così! Immagine
[Lo si capisce anche da quel che ho scritto per giammaria nel precedente post ]
Tre cerchi di raggi rispettivi 1, 2 e 3 sono tangenti a due a due se e solo se i loro centri stanno ai veertici di un triangolo rettangolo di lati [3, 4, 5]. Incastrato tra i tre cerchi ci sta un cerchietto tangente a tutti tre di raggio $r = 6/23$.
Ho allora moltiplicato tutto per 23 per avre intere le distanze del centro del cerchietto [incastrato negli altri tre] dai vertici. Vistio che che in tal modo vengono intere anche le distanze dai cateti ma non intera quella dall'ipotenusa, ho moltiplicato tutto per il minimo intero che rendesse intera anche quest'ultima distanza (cioè per 5).

Dati [nel piano] tre cerchi tangenti a due a due, il problema di trovare il raggio di un cerchio tangente a tutti quei tre risulta algebrico di 2° grado. In generale ci sono dunque due cerchi di raggi diversi entrambi tangenti a quei tre cerchi. Uno è quello appena detto (incastrato tra i tre cerchi, e quindi tangente esternamente a loro e di raggio minore di ciascono di loro). L'altro, a seconda delle reciproche dimensioni dei tre cerchi, può essere tangente internamente [a tutti quei tre, che quindi stanno dentro a lui) oppure essere ancora tangente esternamente (se uno di quei tre è abbastanza piccolo rispetto agli altri due) o anche degenerare in una retta [tangente a tutti e tre quei cerchi, e da considerare come cerchio di raggio infinito].

Dai punti esterni ad un cerchio questo è visto "convesso". Invece è visto "concavo" dai suoi punti interni, Tale è per i tre cerchi tangenti a due a due l'eventuale cerchio tangente internamente a tutti e tre. Con la convenzione di considerare negativo il raggio di un eventuale cerchio tangente internamente ai tre cerchi tangenti a due a due, detti a, b e c i raggi di questi ed $r$ il raggio di un cerchio tangente a tutti e tre, fatti i dovuti conti risulta:
$1/r = 1/a + 1/b + 1/c ±2sqrt(1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca))$.
orsoulx ha scritto:[...] questo avviene sse l'area del triangolo è razionale
. "questo" coeme si legge nel testo originale citato più opara) era il fatto che fossero razionali le distanze del centro del quarto cerchio (quello incastrato tra i tre cerchi tangenti a due a due) dai centri di essi.
Qui orsoulx sottintende che anche i lati del triangolo sono pure razionali. Vedo ora che invece lo dice espressamente nella spiegazione data su specifica richiesta d giammaria. A rigore, la precisazione non è necessaria [dato che le distanze tra il centro di un cerchio ed i centri di più cerchi a lui tangenti non possono essere commensurabili con tutti i raggi di quelli se i loro raggi non sono pure tutti commensurabili. Tuttavia penso che non sia male precisare espressamente che i lati del triangolo (cioè le distanze tra i centri dei tre cerchi tangenti a due a due) sono razionali (come appunto precisa orsoulx nella speigazione per giammaria)
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Re: Distanze intere dai vertici e dai lati

Messaggioda axpgn » 28/02/2018, 13:38

@Erasmus
Qual è il senso del post in cui hai quotato per intero il tuo messaggio precedente senza aggiungere niente di nuovo?

Cordialmente, Alex
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Re: Distanze intere dai vertici e dai lati

Messaggioda Erasmus_First » 08/03/2018, 01:46

@ axpgn (Alex)
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
axpgn ha scritto:@Erasmus
Qual è il senso del post in cui hai quotato per intero il tuo messaggio precedente senza aggiungere niente di nuovo?
La "cosa" la vedo solo ora perché solo ora ho letto questa tua domanda! Immagine
Probablmente – ... tiro ad indovinare come possa essere successo – quando ho inviato la prima volta il messaggio è partito ed arrivato, ma sul mio computer (che deve avere qualcosa di strano, forse qualche virus, perché ogni tanto mi fa degli scherzi incomprewnsibili) è rimasta la pagina con la finestra di scrittura del testo come se avessi solo provato un "anteprima". E allora, tempo dopo (quando ho scritto un altro intervento) – occhio: sto solo facendo supposizioni – vedendo ancora il testo nella finestra di scrittura, ho cliccato "invia" come se fosse la prima volta.
Caro Alex ... non sempre quel che faccio ha una spiegazione logica collegata alla mia volontà. Per esempio, se inciampo e casco, gli effetti della caduta avranno sì una loro logica, ma indipendente dalla mia volontà. A volte questo succede anche qua. I mie lapsus sono ormai frequenti ... e va a vedere cos'è etimologicamente un lapsus! Immagine

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Re: Distanze intere dai vertici e dai lati

Messaggioda axpgn » 08/03/2018, 02:08

E io che speravo ci fosse dietro qualche tua solita interessante considerazione ... peccato! :?

Ciao e Buona Notte, Alex :D

P.S.: ... però alle quattro di notte è più facile accadano cose strane ... :-D

P.P.S.: ah, dimenticavo ... la mia domanda resta ancora non del tutto "evasa", anche se giammaria ha dato una bella dritta :D
axpgn
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