Quesiti gara on line Kangourou della Matematica

[paolasemprini]

Questo è
il testo di un quesito della simulazione di ieri 28 febbraio, della gara on line Kangourou della Matematica Scuola media:


Determinare il numero N che si scrive in notazione decimale a b c d, in modo cge la somma in figura sia verificata:

a b c +
d a b +
c d a +
b c d =
------------
a b c d

Il mio ragionamento mi ha portato ad assegnare ad a il valore 2, verificando che non possa ssumere i valori 1 o 3.
La condizione affinche c sia diverso da d e b da c è che d = 9, ci sia il riporto di 1 dalle unità alle decine e di 2 dalle decine alle centinaia. Questo conduce ad avere c = 0 (OK) ma b non torna!!
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà a capire .

[giammaria]

In esercizi di questo tipo si intende sempre che a lettera diversa corrisponda cifra diversa. Con questa condizione però anch'io concludo che non ci sono soluzioni; sarò felice se qualcuno mi smentirà, ma lo credo impossibile.

[veciorik]

Non è detto che le cifre siano diverse. Non è detto che lo zero sia ammesso come prima cifra di un addendo. Io penso di NO.
La mia soluzione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La somma dei quattro addendi vale $ \quad 111*(a+b+c+d)=37*3* \sigma \quad $ che è divisibile per $3$

Quindi è divisibile per $3$ la somma delle sue cifre $ \ \sigma \ $, mentre il totale e la somma delle sue cifre sono divisibili per $9$

Pertanto il totale è multiplo di $ \quad 999 \quad $: quattro possibilità : $ \quad 999 \ , \ 1998 \ , \ 2997 \ , \ 3996 $

Soltanto $ \quad 2997 \quad $ soddisfa il vincolo $ \quad a+b+c+d=d \quad $ con eventuale riporto.

[giammaria]

Sì, credo che il problema sia solubile solo ammettendo che a lettere diverse possano corrispondere cifre uguali. La tua soluzione mi piace molto, però un tuo passaggio mi sembra mal motivato, probabilmente per la fretta.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La somma dei quattro addendi vale $ \quad 111*(a+b+c+d)=37*3* \sigma \quad $ che è divisibile per $3$
Quindi è divisibile per $3$ la somma delle sue cifre $ \ \sigma \ $

La divisibilità per 3 rientra nel 111: perché dovrebbe valere anche per $sigma$?
Io arriverei al tuo stesso risultato scrivendo che la somma vale $1000a+100b+10c+d$, quindi
$111*(a+b+c+d)=a+b+c+d+9(111a+11b+c)$
$110(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)$
che mostra che $a+b+c+d$è divisibile per 9. Si continua poi come hai fatto tu.

[veciorik]

Sono stato troppo parco nella spiegazione. Provo a rimediare.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Riparto da $ \ 37*3*(a+b+c+d)=abcd \ $ : se l'espressione di sx è multipla di 3 anche quella di dx deve esserlo.

Criterio di divisibilità per 3: $ \ abcd \ $ è multiplo di 3 se lo è la somma delle sue cifre $ \quad a+b+c+d \quad $

Ma $ \quad a+b+c+d \quad $ è a fattore nell'espressione di sx che, avendo già un fattore 3 in chiaro, sarà multipla di 9.

Naturalmente anche l'espressione di dx nell'uguaglianza $ \ abcd \ $ deve essere multipla di 9.

Criterio di divisibilità per 9: $ \ abcd \ $ è multiplo di 9 se lo è la somma delle sue cifre $ \quad a+b+c+d \quad $

Riscrivo l'equazione nella forma $ \ 37*3*(a+b+c+d)=37*3*9*x=999*x=abcd \quad $ con $ \quad 1 \le x \le 4 $

[paolasemprini]

Ringrazio tutti per la soluzione.
L'organizzazione ha inviato le soluzioni e il numero N richiesto è proprio 2997
A presto.

[Erasmus_First]

Determinare il numero N che si scrive in notazione decimale a b c d, in modo cge la somma in figura sia verificata:

Codice:

   a b c +
   d a b +
   c d a +
   b c d =
------------
 a b c d

Il quarto addendo "b c d" .. fa solo fumo!
Non si perde informazione se si sostituisce la somma dei 4 addendi con quest'altra dei soli primi tre addendi:

Codice:

   a b c +
   d a b +
   c d a =
–––––––––
 a 0 0 0  = a·1000

Il problemna è passato anche in un altro forum e là è stato risolto come si vede in questo link:
http://www.trekportal.it/coelestis/showpost.php?p=814728&postcount=2011
Non ci sono soluzioni tranne che per:
a = 2;
b = c = 9;
d = 7.
Considerato che non può essere a > 2, basta infatti provare con a = 1 per vedere che a = 1 non va bene.
Provando con a = 2 si trova che occorre sempre un riporto 2, ossia che deve essere
b + c = 18 (*)
b + d = 16 (**)
c + d = 16. (***)
Anche prescindendo dal fatto che ogni cifra non può essere maggiore di 9, dalle ultime due viene c = b e quindi dalla (*) c = b = 9. E allora dalla (**) o dalla (***) viene d = 7.
In conclusione:

Codice:

   a b c  +                      299 +
   d a b  +                      729 +
   c d a  +                      972 +
   b c d =                       997 =
–––––––                      –––––––
 a b c d                        2997

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