Divisione di una circonferenza in regioni

Messaggioda angros47 » 09/03/2018, 13:21

Questa è la traduzione di un quesito del sito spikedmath.com

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Re: Divisione di una circonferenza in regioni

Messaggioda axpgn » 09/03/2018, 14:55

Perbacco, io ne conto solo trenta! :-k :wink:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
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Cordialmente, Alex

P.S.: Dimmi, quante sono le regioni per sette punti? :D
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Re: Divisione di una circonferenza in regioni

Messaggioda axpgn » 09/03/2018, 22:47

Va beh, te lo dico io :D

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sono $57$

In generale, dati $n$ punti sulla circonferenza, ci sono $(n(n-1))/2$ corde, le quali suddivono la circonferenza in un numero di regioni pari alla somma dei primi cinque numeri della riga $n$-sima del triangolo di Tartaglia ovvero $sum_(i=0)^4 ((n-1),(i))$


Cordialmente, Alex
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Re: Divisione di una circonferenza in regioni

Messaggioda angros47 » 10/03/2018, 00:08

Ben fatto!

Qui è dove ho trovato l'indovinello: http://spikedmath.com/449.html
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Re: Divisione di una circonferenza in regioni

Messaggioda dan95 » 10/03/2018, 10:10

@Alex

Quello è il numero massimo... Sapresti dimostrare la formula?
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio

"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.

"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.
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Re: Divisione di una circonferenza in regioni

Messaggioda anto_zoolander » 10/03/2018, 13:13

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
se non si aggiunge l'ipotesi che i punti siano tutti distinti, anche la risposta '1 regione' può essere corretta
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Re: Divisione di una circonferenza in regioni

Messaggioda axpgn » 10/03/2018, 16:46

Ecco la mia dimostrazione ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Inizialmente abbiamo una regione (il cerchio vuoto).
Tracciando la prima corda aggiungiamo una regione.
Successivamente, ad ogni corda nuova che tracciamo, aggiungiamo una regione più una per ciascuna intersezione con ogni corda esistente.
Questo porta a $R=1+((n),(2))+((n),(4))$, dove $1$ è la regione iniziale, $((n),(2))=(n(n-1))/2$ è il numero totale delle corde e $((n),(4))$ è il numero delle intersezioni (per avere un'intersezione occorrono due segmenti con quattro estremi diversi).
Possiamo riscrivere l'espressione per $R$ così $R=1+((n-1),(1))+((n-1),(2))+((n-1),(3))+((n-1),(4))$ ovvero $sum_(i=0)^4 ((n-1),(i))$

Per una maggior formalità (e per accontentare dan e anto :D ), possiamo aggiungere che i punti devono essere tutti distinti e che non ci possono essere tre o più corde che passano per uno stesso punto (anche se qui mi sorge una domanda: una regione ridotta ad un punto è o non è una regione? :D )


Cordialmente, Alex
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Re: Divisione di una circonferenza in regioni

Messaggioda Erasmus_First » 11/03/2018, 05:39

Questo quiz era passato molti anni fa sul forum Coelestis (degli astronoi dilettanti) nella sezione Rudi Mathematici.
Ricordo di aver dato una soluzione ... euristica sull'ipotesi che si trattasse di una sucessione lnearmente dipendente.
Per tentativi mi veniva fuori che era linearmente dipendente di ordine 5 ed avevva il solo autovalore 1 (e quindi il polinomio caratteristico era $(x-1)^5$).
Detto allora $n$ il numero di punti distinti sulla circonferenza – ed evitndo che quando $n$ è pari gli $n$ punti siano i vertici di un poligono regolare– e detto $R_n$ il numero di regioni quando i punti sono $n$, una legge di ricorrenza che mi desse $R_6=31$ [e poi $R_7 = 57$ ed $R_8 = 99$] era la seguente:
Per ogni $n$ naturale $R_(n+5) = 5·R_(n+4) – 10·R_(n+3)+10·R_(n+2) - 5·R_(n-1) + R_n$. [*]
Ai dati del testo
$R_1 = 1$; $R_2=2$; $R_3=4$; $R_4=8$; $R_5=16$; $R_6=31$
si possono aggiungere $R_0= 1$ (che è evidente), $R_7 = 57$ ed $R_8 = 99$ (che si trovano contando diligentemente le regioni su appositi disegni ben fatti con cerchi di diametro grandino).
Allora – parlo di parecchi anni fa, circa 9 se non ricordo male – ho considerato i termini noti della successione:
Codice:
n –->  0    1    2    3    4    5    6    7    8    ...
Rn ––> 1    1    2    4    8   16   31   57   99    ...

Veramente in un primo tempo ho supposto una legge di ricorrenza di ordine 4, Ma allora, detti A, B, C e D i 4 coefficienti incogniti, mi venivano due equazioni incompatibi, cioè:
$R_5 = 16 = A·8+B·4+C·2+D·1$;
$R_6 = 31 = A·16+B·8+C·4+D·2$
perché sottraendo membro a membro la 2ª al doppio della 1ª viene l'assurdo $1 = 0$ .
Allora ho provato con l'ordine 5 ricavando l sistema lineare (nelle incognite A, B, C, D e E):
8A + 4 B + 2C + D + E = 16
16A + 8B + 4C + 2D + E = 31
31A + 16B + 8C + 4D +2E = 57
57A + 31B + 16C + 8D + 4E = 99
Il sistema è indeterminato perché abbiamo 4 equazioni in 5 incognite
[Occorrerebbe conoscere anche $R_9$ per avere una quinta equazione che renderebbe determinato il sistema].
Sottraendo la seconda al doppio della prima si ricava subito E = 1.
Mettendo allora E =1 si ottiene un sistemadi 4 equazioni in 4 incognite:
8A + 4 B + 2C + D = 15
16A + 8B + 4C + 2D = 30
31A + 16B + 8C + 4D = 55
57A + 31B + 16C + 8D = 95
ancora indeterminato perché la 1ª e la 2ª equazione dicono le stesse cose. Trascuro allora la 1ª equazione e studio il sistema:
16A + 8B + 4C + 2D = 30
31A + 16B + 8C + 4D = 55
57A + 31B + 16C + 8D = 95
Sottraendo la seconda al doppio della prima trovo A = 5.
Con ciò la 2ª e la 3ª diventano
16B + 8C + 4D = – 100
31B + 16C + 8D = -190
Da queste due, sottraendo la seconda al doppio della prima trovo B = –10.
Con ciò deve essere 2C+D = 15 e pertanto una possibile soluzione è quella con C = 10 e D = –5.
Una soluzione è dunque:
[A, B, C, D, E] = [5, –10, 10, –5, 1].
Con tale soluzione abbiamo dunque la [*] (che riscrivo):
Per ogni $n$ naturale $R_(n+5) = 5·R_(n+4) – 10·R_(n+3)+10·R_(n+2) - 5·R_(n-1) + R_n$. [*]
A questa equaziione di ricorrenza corrisponde il polinomio caratteristico
$(x – 1)^5$
e quindi – essendo $1^k = 1$ per ogni k – una soluzione polinomiale del tipo
$R_n = α+βn+γn^2+δn^3+εn^4$.
Si possono calcolare le costanti α, β, γ, δ ed ε conoscendo 5 termini consecutivi della successione. Con i soli dati del testo abbiamo:
α + β + γ + δ + ε = 1
α + 2β + 4γ + 8δ + 16ε = 2
α + 3β + 9γ + 27δ + 81ε = 4
α + 4β + 16γ + 64δ + 256ε = 8
α + 5β + 25γ + 125δ + 625ε = 16
Si elimini α sottraendo una equazione alla successiva :
β + 3γ + 7δ + 15ε = 1
β + 5γ +19δ + 65ε = 2
β + 7γ +37δ + 175ε = 4
β + 9γ +61δ + 369ε = 8
Si elimini β sottraendo una equazione alla successiva :
2γ + 12δ + 50ε = 1
2γ + 18δ + 110ε =2
2γ + 24δ + 194ε =4
Si elimini γ sottraendo una equazione alla successiva :
6δ + 60ε = 1
6δ + 84ε = 2
Si elimini δ sottraendo la 1ª equazione alla 2ª :
4ε = 2 ⇔ $ε = 1/24$.
Con ciò, andando a ritroso e sostituendo le incognite già determinate con i rispettivi valori:
$6δ + 60/24 = 1$ ⇔ $δ =-1/4= -6/24$;
$2γ - 12·6/24 + 50/24 = 1$ ⇔ $γ=23/24$;
$β + 3·23/24 - 7·6/24 + 15/24 = 1$ ⇔ $β= -3/4 = -18/24$;
$α -18/24 + 23/24 - 6/24 + 1/24 = 1$ ⇔ $α=1 = 24/24$.
In definitiva;
$R_n = (24 -18n+23n^2-6n^3+n^4)/24$ per ogni n naturale. [**]
NB: Calcolando $R_0$, $R_6$, $R_7$ ed $R_8$ si trova rispettivamente 1, 31, 57 e 99.
––––––––
Vedo ora che che Alex ha messo (e poi dimostrato) la sua soluzione che [scritta espandendo la sommatoria] è:
$R_n = 1 + (n-1) + ((n-1)(n-2))/2 + ((n-1)(n-2)(n-3))/6 + ((n-1)(n-2)(n-3)(n-4))/24$. [***]
Se in questa equazione [di Alex] si svolgono i prodotti e si mette i termini al minimo comune denominatore [che è 24] si ottiene proprio la mia [**].
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