Questo
quiz era passato molti anni fa sul forum
Coelestis (degli astronoi dilettanti) nella sezione
Rudi Mathematici.Ricordo di aver dato una soluzione ... euristica sull'ipotesi che si trattasse di una sucessione lnearmente dipendente.
Per tentativi mi veniva fuori che era linearmente dipendente di ordine 5 ed avevva il solo autovalore 1 (e quindi il polinomio caratteristico era $(x-1)^5$).
Detto allora $n$ il numero di punti distinti sulla circonferenza – ed evitndo che quando $n$ è pari gli $n$ punti siano i vertici di un poligono regolare– e detto $R_n$ il numero di regioni quando i punti sono $n$, una legge di ricorrenza che mi desse $R_6=31$ [e poi $R_7 = 57$ ed $R_8 = 99$] era la seguente:
Per ogni $n$ naturale $R_(n+5) = 5·R_(n+4) – 10·R_(n+3)+10·R_(n+2) - 5·R_(n-1) + R_n$. [*]
Ai dati del testo
$R_1 = 1$; $R_2=2$; $R_3=4$; $R_4=8$; $R_5=16$; $R_6=31$
si possono aggiungere $R_0= 1$ (che è evidente), $R_7 = 57$ ed $R_8 = 99$ (che si trovano contando diligentemente le regioni su appositi disegni ben fatti con cerchi di diametro grandino).
Allora – parlo di parecchi anni fa, circa 9 se non ricordo male – ho considerato i termini noti della successione:
- Codice:
n –-> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
Rn ––> 1 1 2 4 8 16 31 57 99 ...
Veramente in un primo tempo ho supposto una legge di ricorrenza di ordine 4, Ma allora, detti
A,
B,
C e
D i 4 coefficienti incogniti, mi venivano due equazioni incompatibi, cioè:
$R_5 = 16 = A·8+B·4+C·2+D·1$;
$R_6 = 31 = A·16+B·8+C·4+D·2$
perché sottraendo membro a membro la 2ª al doppio della 1ª viene l'assurdo $1 = 0$ .
Allora ho provato con l'ordine 5 ricavando l sistema lineare (nelle incognite A, B, C, D e E):
8A + 4 B + 2C + D + E = 16
16A + 8B + 4C + 2D + E = 31
31A + 16B + 8C + 4D +2E = 57
57A + 31B + 16C + 8D + 4E = 99
Il sistema è indeterminato perché abbiamo 4 equazioni in 5 incognite
[Occorrerebbe conoscere anche $R_9$ per avere una quinta equazione che renderebbe determinato il sistema].
Sottraendo la seconda al doppio della prima si ricava subito E = 1.
Mettendo allora E =1 si ottiene un sistemadi 4 equazioni in 4 incognite:
8A + 4 B + 2C + D = 15
16A + 8B + 4C + 2D = 30
31A + 16B + 8C + 4D = 55
57A + 31B + 16C + 8D = 95
ancora indeterminato perché la 1ª e la 2ª equazione dicono le stesse cose. Trascuro allora la 1ª equazione e studio il sistema:
16A + 8B + 4C + 2D = 30
31A + 16B + 8C + 4D = 55
57A + 31B + 16C + 8D = 95
Sottraendo la seconda al doppio della prima trovo A = 5.
Con ciò la 2ª e la 3ª diventano
16B + 8C + 4D = – 100
31B + 16C + 8D = -190
Da queste due, sottraendo la seconda al doppio della prima trovo B = –10.
Con ciò deve essere 2C+D = 15 e pertanto una possibile soluzione è quella con C = 10 e D = –5.
Una soluzione è dunque:
[A, B, C, D, E] = [5, –10, 10, –5, 1].
Con tale soluzione abbiamo dunque la [*] (che riscrivo):
Per ogni $n$ naturale $R_(n+5) = 5·R_(n+4) – 10·R_(n+3)+10·R_(n+2) - 5·R_(n-1) + R_n$. [*]
A questa equaziione di ricorrenza corrisponde il polinomio caratteristico
$(x – 1)^5$
e quindi – essendo $1^k = 1$ per ogni
k – una soluzione polinomiale del tipo
$R_n = α+βn+γn^2+δn^3+εn^4$.
Si possono calcolare le costanti α, β, γ, δ ed ε conoscendo 5 termini consecutivi della successione. Con i soli dati del testo abbiamo:
α + β + γ + δ + ε = 1
α + 2β + 4γ + 8δ + 16ε = 2
α + 3β + 9γ + 27δ + 81ε = 4
α + 4β + 16γ + 64δ + 256ε = 8
α + 5β + 25γ + 125δ + 625ε = 16
Si elimini α sottraendo una equazione alla successiva :
β + 3γ + 7δ + 15ε = 1
β + 5γ +19δ + 65ε = 2
β + 7γ +37δ + 175ε = 4
β + 9γ +61δ + 369ε = 8
Si elimini β sottraendo una equazione alla successiva :
2γ + 12δ + 50ε = 1
2γ + 18δ + 110ε =2
2γ + 24δ + 194ε =4
Si elimini γ sottraendo una equazione alla successiva :
6δ + 60ε = 1
6δ + 84ε = 2
Si elimini δ sottraendo la 1ª equazione alla 2ª :
4ε = 2 ⇔ $ε = 1/24$.
Con ciò, andando a ritroso e sostituendo le incognite già determinate con i rispettivi valori:
$6δ + 60/24 = 1$ ⇔ $δ =-1/4= -6/24$;
$2γ - 12·6/24 + 50/24 = 1$ ⇔ $γ=23/24$;
$β + 3·23/24 - 7·6/24 + 15/24 = 1$ ⇔ $β= -3/4 = -18/24$;
$α -18/24 + 23/24 - 6/24 + 1/24 = 1$ ⇔ $α=1 = 24/24$.
In definitiva;
$R_n = (24 -18n+23n^2-6n^3+n^4)/24$ per ogni n naturale. [**]
NB: Calcolando $R_0$, $R_6$, $R_7$ ed $R_8$ si trova rispettivamente 1, 31, 57 e 99.
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Vedo ora che che Alex ha messo (e poi dimostrato) la
sua soluzione che [scritta espandendo la sommatoria] è:
$R_n = 1 + (n-1) + ((n-1)(n-2))/2 + ((n-1)(n-2)(n-3))/6 + ((n-1)(n-2)(n-3)(n-4))/24$. [***]
Se in questa equazione [di Alex] si svolgono i prodotti e si mette i termini al minimo comune denominatore [che è 24] si ottiene proprio la
mia [**].
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