Trigonometria & Frazioni

[.Ruben.]

1)Sia $\alpha$ tale che $cos(\alpha)=3/5, sin(\alpha)=4/5$
Dimostrare che il rapporto tra $\alpha$ e $\pi$ è irrazionale.

2)
Dimostrare che (a parte un numero finito di casi), se sia il coseno che il seno di uno stesso angolo sono razionali, allora tale angolo non é un multiplo razionale di $\pi$.

3)Dimostrare che (a parte un numero finito di casi), quando il seno di un angolo é razionale, allora tale angolo non é un multiplo razionale di $\pi$.

[dan95]

Provo il n. 1)

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Consideriamo le due successioni definite per ricorrenza
${(a_{n+1}=a_0b_n+a_nb_0),(b_{n+1}=b_0b_n-a_0a_n),(a_0=\frac{4}{5}\ \ \ b_0=\frac{3}{5}):}$
Supponiamo per assurdo che $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{a}{b}$, con $a, b$ interi positivi coprimi. Allora $\alpha b=\pi a$, in particolare esiste $s \in \mathbb{N}$ tale che
$a_s=0 \ \ \ b_s=1$

$a_{s-1}=-\frac{4}{5}\ \ \ b_{s-1}=\frac{3}{5}$

$a_{s+1}=\frac{4}{5}\ \ \ b_{s+1}=\frac{3}{5}$

In seni risulta $a_s=\sin(2b\alpha)$, $a_{s-1}=\sin(2b\alpha-\alpha)$ e $a_{s+1}=\sin(2b\alpha+\alpha)$. Inoltre essendo

$\sin(2b\alpha+\alpha-\frac{\pi}{2})=\sin(2b\alpha-\alpha)$

D'altra parte $-\frac{\pi}{2}<\alpha-\frac{\pi}{2}<0$ e $-\frac{\pi}{2}<-\alpha<0$ quindi $2b\alpha+\alpha-\frac{\pi}{2}=2b\alpha-\alpha$ da cui $\alpha=\frac{\pi}{4}$ assurdo.

[.Ruben.]

Provo il n. 1)
$\sin(2b\alpha+\alpha-\frac{\pi}{2})=\sin(2b\alpha-\alpha)$

Perdonami, non capisco questo da dove viene fuori

[dan95]

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Abbiamo $a_{s-1}=\sin(2b\alpha-\alpha)$ e $a_{s+1}=\sin(2b\alpha+\alpha)$, poiché $a_{s-1}=-a_{s+1}$ e $b_{s-1}=b_{s+1}$ e dal fatto che $0<\alpha<\pi/2$, segue che la differenza $(2b\alpha+\alpha)-(2b\alpha-\alpha)=2\alpha$ è un angolo retto.

[.Ruben.]

Non ho ancora capito purtroppo, temo mi stia sfuggendo qualcosa...

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Perché se due angoli hanno stesso coseno e seni opposti hanno un angolo retto di differenza?
Secondo me sono semplicemente due angoli che se sommati danno l'angolo giro

[.Ruben.]

Nel frattempo do un hint:

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Considera a successione $x_n = 5^n sin(n \alpha)$. Quanto vale modulo 5?

[dan95]

Ora provo a cercare una soluzione con il tuo hint

[dan95]

1)

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Supponiamo per assurdo esistano due interi positivi $a,b$ coprimi tali che $b\alpha=a\pi$ e consideriamo le successioni $x_n=5^n\sin(n\alpha)$ e $y_n=5^n\cos(n\alpha)$. Allora

${(x_n=3x_{n-1}+4y_{n-1}),(y_n=3y_{n-1}-4x_{n-1}):}$

Ora considerando che $x_0=4$ e $y_0=3$, in modulo 5 le successioni $x_n$ e $y_n$ sono costanti come si dimostra facilmente per induzione sfruttando la definizione ricorsiva. Tuttavia questo contraddice l'ipotesi iniziale secondo la quale se si prende $n=2b$ si ha $x_n=0 \ne x_0 \mod 5$. Concludiamo che il rapporto non può essere razionale.

[.Ruben.]

1)

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Supponiamo per assurdo esistano due interi positivi $a,b$ coprimi tali che $b\alpha=a\pi$ e consideriamo le successioni $x_n=5^n\sin(n\alpha)$ e $y_n=5^n\cos(n\alpha)$. Allora

${(x_n=3x_{n-1}+4y_{n-1}),(y_n=3y_{n-1}-4x_{n-1}):}$

Ora considerando che $x_0=4$ e $y_0=3$, in modulo 5 le successioni $x_n$ e $y_n$ sono costanti come si dimostra facilmente per induzione sfruttando la definizione ricorsiva. Tuttavia questo contraddice l'ipotesi iniziale secondo la quale se si prende $n=2b$ si ha $x_n=0 \ne x_0 \mod 5$. Concludiamo che il rapporto non può essere razionale.

Esattamente!
Gli altri punti??