Problema parallelepipedo.

[SirDanielFortesque]

Salve, qualcuno può aiutarmi con questo problema:
Testo:
Sapendo che gli spigoli di un parallelepipedo rettangolo hanno somma $L>0$, determinare tutti i possibili valori del suo volume.
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Ho provato ad immaginarmi il parallelepipedo rettangolo e, indicando con $a$, $b$, $c$ dei suoi tre diversi spigoli tali che $4a+4b+4c=L$ scrivere $V=a*b*c$.
Poi ho visto che non vado lontano. Ho scritto la formula del cubo di trinomio e mi sono ricavato:
$V=a*b*c= ((a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3-3*a*b^2-3*a*c^2-3*a^2*b-3*a^2*c-3*b^2*c-3*b*c^2)/6=((L/4)^3-a^3-b^3-c^3-3*a*b^2-3*a*c^2-3*a^2*b-3*a^2*c-3*b^2*c-3*b*c^2)/6=((L/4)^3-(a+b)^3-c^3-3*a*c^2-3*a^2*c-3*b^2*c-3*b*c^2)/6$
Poi però non saprei come continuare. Non mi sembra la strada giusta.

[giammaria]

La mia soluzione non è elegante, ma è facile.

Per comodità pongo $l=L/4$, ottenendo $c=l-a-b$ e quindi
$V=ab(l-a-b)=-ab^2+ab(l-a)$
Al variare di $b$ ho quindi una parabola rivolta verso il basso, passante per l'origine e con vertice in $((l-a)/2,(a(l-a)^2)/4)$
Il volume può quindi variare da zero ad un massimo, dato dalla y del vertice. Quest'ultimo dipende ancora da $a$ e con l'analisi (ricordando che $l>a$) cerco il massimo di
$V_1=1/4 a(l-a)^2$
ed ottengo che si ha per $a=l/3$. Ne deduco $b=(l-a)/2=l/3$ e $c=l-a-b=l/3$, quindi
$V_(Max)=(l/3)^3=(L/12)^3$

Il problema era simmetrico nelle tre variabili, quindi mi aspettavo lo fosse anche la soluzione; la tentazione era dire fin da subito che il volume variava da zero ad un massimo, ottenibile quando $a=b=c=l/3$. Non mi sembrava però una dimostrazione.

[SirDanielFortesque]

Grazie mille. Non mi sarebbe mai venuto in mente come risolverlo.

[veciorik]

Le tre incognite si riducono a due, grazie al vincolo sulla somma.
Lasciando da parte l'analisi, le derivate, etc..., mi sono divertito disegnando due grafici 3D normalizzati ponendo uguale a 3 la somma dei tre spigoli.

1) academo surface plotter
Le variabili sono due spigoli.
Volume $z=xy(3-x-y)$.
Col mouse puoi ingrandire, ruotare e inclinare. Il massimo (1,1,1) è evidente con risoluzione 15 o 12 o 9.

2) wolphramalpha plot
Le variabili sono le differenze degli spigoli rispetto al punto (1,1) di massimo.
Volume $z=(1-x)(1-y)(1+x+y)$.
Il bottone "Show contour lines" mostra il luogo dei punti (x,y) che danno lo stesso volume.

[giammaria]

Bellissima soluzione grafica! Intervengo di nuovo perché ho trovato un'altra soluzione, che evita non solo analisi ed analitica ma anche i grafici al computer: si tratta di dimostrare che, fra tutti i parallelepipedi rettangoli aventi costante la somma $l$ delle tre dimensioni, il volume maggiore compete al cubo, di spigolo $s=l/3$.
Ordiniamo le dimensioni ponendo $a>=b>=c$, con media $s$.

Poiché $a$ è la dimensione maggiore, possiamo porre $a=s+x$, con $x>=0$.
Poiché $c$ è la dimensione minore, possiamo porre $c=s-y$, con $y>=0$.
Poiché la somma delle dimensioni è $3s$, ne consegue $b=s-x+y$.

Il volume è quindi
$V=(s+x)(s-y)(s-x+y)=...=s^3-A$
essendo $" "A=s(x^2-xy+y^2)-xy(x-y)$

Dobbiamo ora dimostrare che si ha $A>=0$, valendo l'uguale solo quando si annullano $x,y$. Notiamo che non può annullarsene una sola perché se non ci sono valori superiori alla media non possono essercene neanche di inferiori, e viceversa.
Da $c>0$ deduciamo $s>y$ e nella formula di $A$ lo moltiplichiamo per un numero positivo o nullo, quindi
$A>=y(x^2-xy+y^2)-xy(x-y)=y(x^2-xy+y^2-x^2+xy)=y^3>=0$
che dimostra la tesi.

Non mi stupirebbe se qualcuno desse una risposta anche migliore di questa.