Funzione analitica da dati e grafico

[francescoripa]

Buonasera,
Spero di essere nello spazio giusto per proporvi questo mio dubbio.
Vorrei riuscire a trovare la funzione scritta in forma analitica di una funzione che ha come grafico uno simile a quello di f(x)=sqrt(x) solo che il limite di x tendente a +∞ di f(x) deve essere un numero. Questo numero deve dipendere dal rapporto tra la y e la x di punto arbitrario della curva.
Faccio un esempio per rendere il tutto più comprensibile. Facciamo che dopo 4 minuti che raccolgo mele dal mio melo ne ho raccolte 16. Continuando mi accorgo che il ritmo con il quale sto raccogliendo le mele sta diminuendo poichè le mele sull'albero sono meno e le raccolgo con difficoltà. il massimo di mele che ho raccolto sono 125 poichè il melo non ha più mele. I 4 minuti sono la X del punto, le 16 mele la Y, e 125 il limite di x tendente a +∞ di f(x) (anche se non è del tutto corretto poichè non dovrei mai arrivare a trovare 125 mele in questo caso).
L'idea sarebbe di riuscir a calcolare quante mele ha il mio melo sapendo la quantità di mele che ho raccolto in un determinato tempo, considerando la densità di mele di ogni melo sempre uguale.
Scusatemi per l'esempio un po' stravagante.

[axpgn]

$ (125*(sqrt(x)-1))/sqrt(x) $

[francescoripa]

$ (125*(sqrt(x)-1))/sqrt(x) $

Ciò che avevo in mente era in realtà un fascio di curve generato da k, parametro definito dal rapporto tra la y e la x di un punto appartenente alla curva.
Con la soluzione da te proposta il limite di x tendente a +∞ è sempre 125 e non varia a seconda di k.

[axpgn]

Mi sembrava volessi quello e quello ti ho dato ...

Comunque se vuoi $k$, metti $k$ al posto di $125$ (sempre che io abbia capito la tua richiesta ...)

Eventualmente posta un disegno di quello che vuoi ottenere ...

[francescoripa]

Hai ragione, mi sono spiegato male. Se sostituisco k a 125 il risultante del limite è k ma non è un numero moltiplicato o comunque influenzato da k. I numeri che ho usato per l'esempio delle mele sono esatti; Se raccolgo 16 mele in 4 minuti allora sono sicuro che troverò circa 125 mele. La funzione deve però funzionare anche per altri parametri.
Di quelli appena scritti ne sono certo, ma per esempio dovrebbe poter funzionare anche per 3 mele in 4 minuti che mi darà sicuramente un numero minore di mele totali. Scusami la confusione, lo trovo complicato da spiegare.

[axpgn]

Non saprei, non riesco a capire esattamente la tua richiesta ... però quello che posso dire è che la funzione che ho scritto è crescente (come quella che vorresti), il "ritmo" di crescita decresce (come quella che vorresti), ha come limite un numero finito (come quella che vorresti).
Il punto più oscuro per me è questo

... Se sostituisco k a 125 il risultante del limite è k ma non è un numero moltiplicato o comunque influenzato da k. ...

Comunque, penso che qualcuno ti darà una risposta migliore della mia ...

Cordialmente, Alex

[francescoripa]

L'idea è questa, sapendo quante mele ho raccolto per esempio in 4 minuti, riesco a sapere, facendo il limite, quante mele raccoglierò.
Quelle che ho disegnato sono tutte funzioni simili.
Mi spiace non riuscirmi a spiegare.

[axpgn]

Se hai un po' di punti (uno non basta ) puoi darli in pasto a Excel o Wolphram Alpha o sw del genere e farti generare una funzione (che comunque sarà simile a quella che ho scritto ...)
Quello che non vedo possibile è avere un parametro $k$ che sia contemporaneamente una parte della funzione e generato dalla funzione ...

[giammaria]

Il fatto che il numero di mele raccolte faccia diminuire l velocità di raccolta fa pensare ad un esponenziale decrescente e quindi ad una velocità di raccolta data da $ae^(-bx)$ (con $a,b$ positivi). Il numero di mele raccolte in un tempo $x$ sarebbe allora dato da
$y=int_0^x ae^(-bu)du=a/b(1-e^(-bx))$
Fissato un $b$ a tuo piacere, dal dato relativo ai 4 minuti ricavi $a$; nella tendenza all'infinito la funzione tende a a $a/b$.
Naturalmente sono possibili anche infinite altre soluzioni; questa ha l'andamento che indichi in figura.

[francescoripa]

Entrambe le funzioni da voi proposte sono molto valide e vi ringrazio.
Per riuscire meglio a individuare una funzione adatta mi sono ricavato ulteriori dati, li ho messi su excel e ne ho tracciato il grafico. Questo è il risultato.

Dopo aver letto sul forum che era possibile ricavare la formula di excel con una trendline, ho provato e purtroppo mi sono accorto che nessuna delle funzioni polinomiali o che, che excel propone, approssimano abbastanza la mia.
Ipotizzando che il limite di x che tende a infinito sia 145, secondo voi, con questa quantità di dati, è possibile trovare una funzione analitica solo usando i punti e il grafico?

Per spiegarvi cosa volevo dirvi con le mele:
Prendiamo per esempio il punto (5,15). Io avevo pensato che sfruttando il rapporto tra i due, fosse possibile, tramite la funzione, ricavare il numero massimo di mele che raggiungerò. Stesso risultato si dovrebbe ottenere con tutti gli altri punti della funzione dato che dai dati possiamo intuire come decresce (?).