Imparzialità

[orsoulx]

Dato un triangolo qualsiasi, determinare le corde (segmenti con estremi appartenenti a due lati diversi) che lo dividono in due parti isoperimetriche ed equiestese.
Ciao

[axpgn]

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Poniamo di avere un triangolo di lati $a, b, c$.
Tracciamo una corda $z$ tra $a$ e $b$, parallela a $c$ e che divida il triangolo in due aree equiestese.
Chiamiamo $x$ e $y$ i due lati del triangolo piccolo e $H$ e $h$ le due altezze dei due triangoli relative alla base $c$
Quindi $cH=2zh$ e $c/H=z/h$, da cui $c=sqrt(2)z$
Affinché le due parti siano isoperimetriche deve essere $x+y+z=a-x+b-y+c+z\ ->\ x+y=(a+b+c)/2$
D'altra parte, data la similarità dei due triangoli, avremo $a+b+c=sqrt(2)(x+y+z)$
Sostituendo $a+b+c=sqrt(2)((a+b+c)/2+z)\ ->\ sqrt(2)(a+b+c)=a+b+c+2z$ da cui si può concludere che $z=[(sqrt(2)-1)(a+b+c)]/2$
Almeno una per lato ci dovrebbe essere, per le altre vedremo ...

Cordialmente, Alex

[giammaria]

@ axpgn. Non c'è l'ipotesi che la corda sia parallela ad un lato, anche se può capitare in casi particolari.

@ orsoulx. Ti accontenti della soluzione trigonometrica? Se sì, eccola.

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Considero il caso in cui la corda PQ ha P su AC e Q su BC; le altre soluzioni si ottengono con permutazione ciclica. Pongp CP=u e CQ=v; le altre lettere sono come al solito.
Per l'equiestensione l'area del triangolo piccolo è la metà del grande, quindi
$1/2uv sin gamma=1/2*1/2ab sin gamma" "->" "uv=(ab)/2$
Nel considerare i perimetri, PQ appartiene ad entrambi e viene semplificato; resta
$u+v=a-v+b-u+c" "->" "u+v=(a+b+c)/2$
Le incognite $u,v$ sono quindi le soluzioni dell'equazione
$z^2-(a+b+c)/2z+(ab)/2=0$
Le soluzioni sono scambiabili fra loro, quindi per ogni corda risolvente PQ c'è anche la sua simmetrica rispetto alla bisettrice di $hatC$. Lo si può vedere anche subito, dato che quel cambio di corda non modifica né l'area né il perimetro.

Sto lavorando per trovare una soluzione puramente geometrica; per ora, non ho buone idee.

[axpgn]

Eh, lo so, infatti ho scritto "per le altre vedremo" ...
Si può usare anche la trigonometria? Pensavo volesse una soluzione senza "angoli" ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Eh, lo so, infatti ho scritto "per le altre vedremo" ...

Questo è buono! Non altrettanto l' "Almeno una per lato ci dovrebbe essere" che compare prima: se elimini "z " trovi la condizione cui devono soddisfare i lati del triangolo per ammettere una corda soluzione parallela a "c" (condizione che ha probabilità nulla di verificarsi se i lati sono scelti a caso); giocando sui valori di "a" e "b" puoi trovare la forma del triangolo con due corde soluzione, ciascuna parallela da un lato; nessun triangolo può averne tre.

@gianmaria,
Non ci sono problemi riguardo l'utilizzo della trigonometria (eliminabile usando la similitudine). L'impostazione mi piace (forse perché coincide con la mia ). Le limitazioni algebrico/geometriche impediscono però di accettare in toto le soluzioni che proponi: nessun triangolo ammette sei corde risolventi il problema.

Ciao

[axpgn]

... Non altrettanto l' "Almeno una per lato ci dovrebbe essere" ...

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Dopo aver postato, ho continuato a pensarci perché c'era qualcosa che non mi convinceva, mi sembrava ci fosse qualcosa di ridondante; difatti $c$ dipendeva da $a$ e $b$ (vado a memoria, dovrebbe essere $c=(3-sqrt(2))(a+b)$), in pratica un caso particolare di un caso particolare ... che poi questa considerazione andasse a "sbattere" con la frase che tu hai citato, non mi è neanche passato per la mente

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Vero: occorre la discussione del problema. Non l'avevo fatta pensando che forse era tutto da buttare perché dovevo usare solo la geometria sintetica; ora ci penserò, ma sperando che qualcuno mi preceda (a prima vista, direi che ci sono molti casi).
Però, a proposito di geometria sintetica, vorrei qualche spiegazione sulla tua affermazione che l'utilizzo della trigonometria è eliminabile usando la similitudine: di che similitudine parli?

[orsoulx]

@gianmaria,
le funzioni goniometriche nascono come semplificazioni stenografiche di rapporti fra segmenti in triangoli simili, ad esempio in questo caso, se si vuole evitare l'uso di $ sin \gamma$, basta scrivere (con riferimento alla tua trattazione)

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$ u cdot h_u=1/2 b cdot h_b rightarrow uv cdot h_u/v=1/2 ab cdot h_b/a rightarrow uv=1/2 ab$,
dove la semplificazione finale è permessa dall'uguaglianza $ h_u/v=h_a/b $ derivante dalla similitudine fra i triangoli rettangoli ottenuti proiettando $ Q $ e $ B $ sui lati opposti dell'angolo $ ACB $.
Quanto alla costruzione, con riga e compasso, delle corde cercate (sicuramente fattibile, perché compare unicamente un radicale quadratico), una semplificazione potrebbe derivare dal notare che tutte le corde in questione passano per un punto notevole del triangolo. Quale?

Ciao

[giammaria]

Faccio la discussione, partendo dai risultati del mio primo intervento.

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Premetto qualche osservazione:
- I casi in cui vale qualche uguale sarebbero degni di un esame a parte; non lo faccio per non dilungarmi troppo. In accordo a questo, scriverò sempre $<$ e non il $<=$ che sarebbe quasi sempre più esatto.
- $c$ è il lato su cui non giacciono gli estremi della corda. Fra gli altri due posso imporre che sia $a<b$ senza perdita di generalità.
- Fra la due soluzioni, chiamo $u$ la più piccola; può giacere su uno qualsiasi di $a,b$.
- $u,v$ sono le soluzioni dell'equazione indicata, cioè sono le intersezioni dell'asse $x$ con la parabola rivolta verso l'alto
$y=f(x)=2x^2-x(a+b+c)+ab$

Le condizioni da imporre sono che $u,v$ siano reali, positive e minori del lato su cui giacciono. La positività non richiede calcoli perché ci sono due variazioni; i calcoli per la realtà saranno fatti verso la fine, nell'unico caso in cui sono necessari.
Noto che si ha
$f(a)=2a^2-a(a+b+c)+ab=a^2-ac=a(a-c)$
$f(b)=...=b(b-c)$
Stante la $a<b$, gli unici ordini crescenti per i lati sono $abc,acb,cab$

Caso 1): $a<b<c$
Si ha $f(a)<0$ ed $f(b)<0$, quindi la parabola può assumere valori negativi e perciò incontra l'asse x; $a,b$ stanno fra le intersezioni. Ne consegue $v>b$, quindi un estremo della corda cade fuori dal lato: nessuna soluzione.

Caso 2): $a<c<b$
Si ha $f(a)<0$ ed $f(b)>0$, quindi col ragionamento precedente diciamo che ci sono intersezioni ed $a$ sta fra esse, mentre $b$ ne è a destra. E' accettabile la soluzione in cui $v$ giace su $b$ (ed $u$ su $a$), mentre non lo è quella scambiata: una soluzione.

Caso 3): $c<a<b$
Si ha $f(a)>0$ ed $f(b)>0$, quindi le soluzioni potrebbero non essere reali, ed approfondiremo dopo questo punto. Supponendo che siano reali, noto che $a,b$ sono e destra delle intersezioni; infatti
$x_("vertice")=(a+b+c)/4<(a+(a+c)+c)/4=(a+c)/2<(a+a)/2=a$
Quindi se le soluzioni sono reali sono entrambe accettabili ed ho due soluzioni; altrimenti non ne ho nessuna.
Esaminiamo ora la realtà: deve essere $Delta>0$, cioè
$(a+b+c)^2-8ab>0->(a+b+c)^2>8ab->a+b+c>2sqrt(2ab)->c>2sqrt(2ab)-a-b$
Sappiamo che si ha $c>b-a$ e ci chiediamo quale delle due limitazioni sia la più forte; a calcoli fatti, troviamo i seguenti sottocasi:
$" "" "$- se $b>2a$ la limitazione più forte è la $c>b-a$: le soluzioni sono reali per ogni triangolo disegnabile;
$" "" "$- se $a<b<2a$ la limitazione più forte è l'altra: le soluzioni sono reali solo se $c>2sqrt(2ab)-a-b$
$" "" "" "$Questa limitazione è sempre compatibile con la $c<a$ che governa il caso 3.

Conclusione: le corde risolventi sono al massimo tre, di cui due con estremi sui lati più lunghi e l'altra con un estremo sul lato più lungo e l'altro estremo sul lato più corto. Le prime due corde potrebbero però mancare.

EDIT
A qualche giorno di distanza, mi accorgo che nel caso 3 non c'è il sottocaso $b>2a$. Infatti da $c<a$ segue
$b<a+c<a+a=2a$

[orsoulx]

@gianmaria,

Mi ha sorpreso in particolare che le condizioni per l'esistenza di più soluzioni si possano ricondurre all'osservazione di un triangolo particolare. Se questo è acutangolo vi saranno tre soluzioni, se è rettangolo due, altrimenti una sola.
Ciao