Problema olimpiadi 2017 - Squadre

[Karotto]

Nel Maggio di moltissimi anni fa, diversi matematici si ritrovarono in una locanda; si accorsero subito di essere esattamente
tanti quanti gli interi n, compresi tra 100 e 10000, tali che il loro fattoriale n! è un multiplo di 2^(n−1)
Dopo essersi contati,
decisero che erano nel giunto numero per intraprendere il pellegrinaggio alla tomba di Archimede. Quanti erano?

Voi come risolvereste?

Grazie

[axpgn]

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I matematici sono $7$
Nel fattoriale di $100$ ci sono $97$ fattori pari a $2$ quindi $100!$ è un multiplo di $2^97$ ma non di $2^99$.
Proseguendo la situazione peggiora perché si aggiungono più interi che fattori uguali a due, finché non si giunge a $128$ che ne recupera un bel po' ...
$128!$ ha $127$ fattori pari a due e quindi è divisibile per $2^127$, lo stesso le successive potenze di due che in quel range sono sette.

Cordialmente, Alex

[Karotto]

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Esatto, ma come fai a dimostrare le potenze di 2 soltanto soddisfano questo requisito. Io ho svolto come te in modo intuitivo

[axpgn]

Adesso non ho tempo, lo spiego dopo ... comunque l'intuito non è una colpa

Cordialmente, Alex

[axpgn]

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Supponiamo che $n$ sia una potenza di due cioè $n=2^k$.
Quanti $2$ ci sono nel fattoriale di $n$?
$f2=2^k/2^1+2^k/2^2+...+2^k/2^k=2^(k-1)+2^(k-2)+...+1=2^k-1=n-1$
Quindi il fattoriale di $n$ sarà un multiplo di $2^(n-1)$, come richiesto.
E gli altri numeri?
Si può notare che i fattoriali dei numeri intermedi tra una potenza di due e l'altra, aumentano il fattore $2$ ogni due numeri ed ogni quattro ed ogni otto ... e l'equivalenza tra l'aumento del numero e l'aumento dei fattori $2$ si raggiunge solo quando $m-n=2^(k+1)-2^k=2^k=2^1+2^2+...+2^(k-1)+1$

Cordialmente, Alex

[Karotto]

Grazie