Buongiorno.
È da qualche giorno che un problema proposto nelle recenti gare a squadre di Cesenatico mi tormenta.
Sto ancora cercando la strada giusta da percorrere per poter arrivare alla soluzione.
Ecco il testo
I Goldbachtrotters sono famosi per la loro abilità nel manipolare numeri di altezza crescente. Nel loro numero più famoso, 2n di loro si mettono in fila, indossando maglie su cui sono scritti, da sinistra a destra, i numeri +1,+2,+3... + (n − 1),+n,−n,−(n − 1)... − 2,−1. Il primo di loro, quello con il numero +1, lancia la palla al suo compagno di squadra immediatamente alla sua destra. Allo stesso modo, quando riceve la palla, ogni giocatore la passa al giocatore che ha distanza da lui pari al suo numero di maglia, a destra se il numero è positivo e a sinistra se è negativo. Quindi per esempio il giocatore con il numero −4 passa la palla al giocatore che sta quattro posti a sinistra rispetto a lui. Per quanti interi n ≥ 1 la palla sarà di nuovo in possesso del giocatore iniziale dopo 24 passaggi?
Ho provato a calcolare dopo quanti passaggi la palla ritorna al giocatore iniziale per i primi valori interi:
dopo un passaggio 0 possibilità:
dopo due passaggi una possibilità: n=1
dopo tre passaggi una possibilità: n= 3
dopo quattro passaggi due possibilità: n= 2 ed n=7 (più il caso di due passaggi)
dopo cinque passaggi : una possibilità: n=15
dopo sei passaggi: tre possibilità: n=4, n=10, n=31 (oltre ai casi con due e tre passaggi)
dopo sette passaggi: una possibilità: n= 63
dopo otto passaggi: quattro possibilità: n= 8, n= 25, n=42, n=127 (oltre ai casi con due e quattro passaggi)
Mi sono poi fermato per cercare una ricorrenza per arrivare ai 24 passaggi.
Continuando così, ad ogni numero pari successivo di passaggi, le possibilità sembrano aumentare di uno ma se fosse corretto, dopo 24 passaggi ci dovrebbero essere 12 casi per 24 passaggi più 6 casi per 12 passaggi, più 4 casi per 8 passaggi, più 3 casi per sei passaggi, più 2 casi per quattro passaggi, più 1 caso per tre passaggi e 1 caso per due passaggi, in totale 29.
La risposta è però 95.
E’ impossibile proseguire cercando di controllare manualmente cosa accade in seguito,bisognerebbe controllare tra 2^23-1 numeri…
Ringrazio in anticipo coloro i quali vogliono provare a risolvere il dilemma proponendo qualche suggerimento.