Un integrale

[Delirium]

Esercizio. Sia \(f : [0,1] \to \mathbb{R} \) una funzione continua. Mostrare che esiste un punto \( \xi \in [0,1] \) tale che \[ \int_0^1 f(x) x^2 \, dx = \frac{f(\xi)}{3}. \]

[dan95]

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La funzione è continua nel compatto $[0,1]$ per il teorema di Weierstrass ammette massimo e minimo che chiameremo $M$ e $m$ rispettivamente, definiamo la funzione:

$$F(y):=\int_{0}^{1}(f(x)-f(y))x^2dx$$

Ora poiché $f(x)-M \leq 0$ e $f(x)-m \geq 0$ e $x^2 \geq 0$ per ogni $x \in [0,1]$ la funzione $F$ cambia segno in $[0,1]$, la tesi segue dal teorema di esistenza degli zeri.

[Delirium]

Si può fare anche così (variante): se \(m\) ed \(M\) sono minimo e massimo di \(f\) su \([0,1]\), \[ \frac{m}{3} \le \int_0^1 f(x) x^2 \, dx \le \frac{M}{3} \] quindi \[ 3 \int_0^1 f(x) x^2 \, dx \in f([0,1]) \] e si conclude per il teorema dei valori intermedi.