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Per induzione: si supponga che $2^k$ abbia un multiplo siffatto, e per di più formato da $k$ cifre (per $n=1$ è vero: $2$ è multiplo di se stesso e ha una sola cifra). Chiamiamo $m$ tale multiplo.
Ora, $m$ diviso $2^{k+1}$ ha resto $0$ oppure $2^k$. Se il resto è $0$ ho finito, ma per continuare l'induzione devo trovare un multiplo che abbia $k+1$ cifre, quindi prendo $m + 2*10^{k}$. Se il resto è $2^k$ prendo $m + 10^{k}$.