[EX] Un luogo geometrico

[gugo82]

Esercizio:

Siano $Gamma_1: y=x^2$ e $Gamma_2: y=-x^3$ due curve del piano cartesiano $Oxy$.

1. Determinare le coordinate $x(k)$ ed $y(k)$ dei punti $P_k$ che sono intersezione delle rette tangenti alle curve $Gamma_1$ e $Gamma_2$ passanti per punti di uguale ascissa $k$.

2. Trovare le equazioni del luogo dei punti del piano $Lambda$ formato dai punti $P_k$.

[marcorossi94]

Probabilmente ho sbagliato, vista l'ora...

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A me viene $y=x+frac{x_0^3-2x_0^2-x_0}{3x_0+2}$
Quindi una retta parallela alla bisettrice, traslata a seconda del punto $x_0$ dove scelgo di tracciare le tangenti.

[gugo82]

@marcorossi94: No, non funziona.
Le coordinate del punto di intersezione devono dipendendere solo dal parametro $k$ (o $x_0$) mentre nelle equazioni del luogo ci devono solo essere le due variabili $x$ ed $y$.

[marcorossi94]

Caspita ora che ci penso, ho detto una cavolata enorme.

Quindi il punto dove faccio passare le tangenti è $x_0$ e, al variare di quello, trovo un'equazione con solo x ed y.

[anto_zoolander]

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le funzioni sono entrambe diff. quindi le rette saranno del tipo

$y(k)=f'(k)(x-k)+f(k)$

${(y_1(k)=2k(x-k)+k^2),(y_2(k)=-3k^2(x-k)-k^3):}$

$2kx-k^2=-3k^2x+2k^3$

$k=0 => P=(0,0)$ quindi per $kne0$

$2x-k=-3kx+2k^2 => x(2+3k)=k+2k^2 => x=k*(1+2k)/(2+3k)$

chiaramente $k=-2/3$ non è soluzione quindi possiamo tranquillamente escluderlo.
Inoltre $k=0$ possiamo farlo rientrare in questa soluzione, pertanto in generale le soluzioni saranno i punti del tipo

$(x,y)=((k+2k^2)/(2+3k),(k^3)/(2+3k)), k in RR$

le equazioni fanno veramente schifo gugo

sono $y_(pm)(x)=((3x-1pmsqrt(1+10x+9x^2))/4)^3/(2+3/4(3x-1pmsqrt(1+10x+9x^2))$

[totissimus]

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Meglio la forma implicita.
$4x^{3}+3x^{2}y-6xy-4y^{2}-y=0$

[gugo82]

Ok... Ma mi sembra che nessuno di voi sia più uno studente delle superiori, no?