Due problemi

Messaggioda Sascia63 » 08/07/2018, 18:52

Salve volevo proporre due problemi tratti dalla Disfida Matematica "Urbi et Orbi" che non sono riuscito a risolvere:
a) Trovare il più grande intero $n$ tale che la disuguaglianza $ (x^7)^x ≤x^n+1-x$ sia vera per ogni $0<x<1$

b)Un polinomio di settimo grado è tale che $p(x)-32$ è divisbile per $(x+1)^4$ e $p(x)+32$ è divisibile per $(x-1)^4$.Quanto vale $p(2)$?
Io ho iniziato a svolgerlo così:
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deg $p(x)=7$
$p(x)-32=(x+1)^4s(x)$
$p(x)+32=(x-1)^4g(x)$ ho successivamente ricavato alcuni valori di $g(x)$ ed $s(x)$ ma non sono arrivato a nulla di concreto
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Re: Due problemi

Messaggioda giammaria » 17/07/2018, 15:03

Per il secondo problema do una soluzione, anche se tutt'altro che elegante.
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Parto dalle formule che tu stesso hai scritto, e cioè
$p(x)-32=(x+1)^4s(x)$
$ p(x)+32=(x-1)^4g(x) $

che, sommate e sottratte, diventano
$2p(x)=(x+1)^4s(x)+(x-1)^4g(x) $
$-64=(x+1)^4s(x)-(x-1)^4g(x) $

$s(x)$ e $g(x)$ sono due polinomi di terzo grado a coefficienti incogniti; questi coefficienti possono essere determinati applicando alla seconda equazione il principio di identità dei polinomi e poi sostituiti nella prima equazione. Ho trovato un accorgimento per abbreviare i calcoli, che restano comunque lunghetti e basati sul principio di identità; alla fine ottengo
$p(x)=2x(5x^6-21x^4+35x^2-35)$
da cui deduco $p(2)=4*89=356$
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Due problemi

Messaggioda axpgn » 18/07/2018, 14:31

@giammaria
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C'ho pensato qualche secondo, partendo proprio così ma mi son sembrati troppi i coefficienti da trovare ed ho subito lasciato perdere ... :-D
Però tu hai proseguito e siccome a me continuano a sembrare tanti, potresti farci vedere come hai fatto? Thanks :wink:
E poi un'altra cosa ... se $x=2$ allora avremmo $p(2)-32=3^4*s(2)$ e $p(2)+32=g(2)$ ... secondo te è una strada che potrebbe portare da qualche parte? Grazie. :D


Cordialmente, Alex
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Re: Due problemi

Messaggioda Sascia63 » 18/07/2018, 15:18

Concordo con axpgn, ho provato anch'io ma mi sono perso; @giammaria se mostrassi tutti i passaggi mi faresti un gran favore.
Per quanto riguarda il primo problema non ho la minima idea di come iniziare :roll: .
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Re: Due problemi

Messaggioda @melia » 18/07/2018, 17:39

Per il primo problema ho provato così, ma sono in alto mare
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$ (x^7)^x ≤x^n+1-x $ con $ 0<x<1 $, allora $ (x^7)^x ≤x^n+1-x < x^n$
ho lavorato su $x^(7x)<x^n$, passati al $ln$ diventa $7x ln x< n lnx$ divido per $lnx$ che è negativo, perciò $7x>n$ da cui $n<7x$, perciò $n<7$, ma nell'originale potrebbe essere $n<=7$, tuttavia non sono riuscita a dimostrare che $n=7$ non sia soluzione, né che non lo sia $n=8$, mentre non ho avuto problemi a dimostrare che $n=9$ non è soluzione.
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Re: Due problemi

Messaggioda axpgn » 18/07/2018, 17:48

A occhio (cioè dal grafico :D ) la soluzione è ...

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$n=8$
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Re: Due problemi

Messaggioda Sascia63 » 18/07/2018, 18:29

Si hai ragione axpgn (anche se hai barato :lol:)
La soluzione è proprio:
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$n=8$
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Re: Due problemi

Messaggioda axpgn » 18/07/2018, 18:43

Non è vero! È un metodo alternativo :-D
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Re: Due problemi

Messaggioda Sascia63 » 18/07/2018, 19:13

@melia ha scritto:Per il primo problema ho provato così, ma sono in alto mare
$ (x^7)^x ≤x^n+1-x $ con $ 0<x<1 $, allora $ (x^7)^x ≤x^n+1-x < x^n$.

@melia L'errore sta qui: $ x^n+1-x>x^n $ perchè abbiamo detto che $ 0<x<1 $ quindi $ 1-x>0 $ di conseguenza $ x^(7x) ≤x^n<x^n+1-x $
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Re: Due problemi

Messaggioda giammaria » 18/07/2018, 22:01

Ecco l'accorgimento che ho usato nel secondo problema.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Poiché $(x+-1)^4=(x^4+6x^2+1)+-4x(x^2+1)$
le due equazioni sono
$2p(x)=(x^4+6x^2+1)[s(x)+g(x)]+4x(x^2+1)[s(x)-g(x)]$
$-64=(x^4+6x^2+1)[s(x)-g(x)]+4x(x^2+1)[s(x)+g(x)]$

Pongo ora
$a(x)=s(x)-g(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=x(a_0x^2+a_2)+(a_1x^2+a_3)$
$b(x)=s(x)+g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3=x(b_0x^2+b_2)+(b_1x^2+b_3)$

e la seconda equazione diventa
$-64=(x^4+6x^2+1)[x(a_0x^2+a_2)+(a_1x^2+a_3)]+4x(x^2+1)[x(b_0x^2+b_2)+(b_1x^2+b_3)]$

Faccio i prodotti, scrivendo in due righe diverse i pezzi con esponenti pari e dispari.
$-64=(x^4+6x^2+1)(a_1x^2+a_3)+4x^2(x^2+1)(b_0x^2+b_2)+$
$" "" "+x(x^4+6x^2+1)(a_0x^2+a_2)+4x(x^2+1)(b_1x^2+b_3)$

Il principio di identità dei polinomi fornisce ora due sistemi diversi, uno per riga, e precisamente
${(a_1+4b_0=0),(a_3+6a_1+4b_2+4b_0=0),(6a_3+a_1+4b_2=0),(a_3=-64):}$ ${(a_0=0),(a_2+6a_0+4b_1=0),(6a_2+a_0+4b_3+4b_1=0),(a_2+4b_3=0):}$

La soluzione del primo sistema è un po' lunga; quella del secondo è più breve, anche perché, trattandosi di un sistema lineare omogeneo, ci aspettiamo soluzioni nulle (e lo sono, ma occorre controllare che il sistema non sia indeterminato). Alla fine troviamo
$a_1=-80;" "a_3=-64;" "b_0=20;" "b_2=116;" "a_0=a_2=b_1=b_3=0$

Il resto non ha storia.
Per completezza, ho preferito calcolare prima p(x) e poi p(2), ma avrei anche potuto porre subito x=2 nei vari pezzi, ed avrei risparmiato i prodotti fra polinomi. Oppure si può sfruttare il suggerimento di axpgn.
Ultima modifica di giammaria il 19/07/2018, 15:26, modificato 1 volta in totale.
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