Due problemi

[Erasmus_First]

Data la gentile richiesta ...

Grazie, Alex.
Quanto al secondo esercizio, mettiamoci in un x minore sì di 1 ma vicinissimo ad 1, ossia in $x = 1 – δ$ con $δ$ positivo ma piccolissimo. E cerchiamo qual è il primo $n$ intero positivo che dà
$f(δ) = (1-δ)^(7(1-δ)) -(1-δ)^n + (1–δ) - 1 <0$.
Non è necessario usare le derivate. Basta soltanto conoscere lo sviluppo delle potenze di un binomio e tener conto del fatto che δ è positivo ed infinitesimo. Allora, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al secondo abbiamo:
$f(δ)=(1-δ)^(7(1-δ))-(1-δ)^n+(1-δ)-1≈ (n-8)δ -[(n(n-1))/2-21]δ^2$.
Per $n=8$ è ancora $f(δ)$ negativo valendo [circa] $–7δ^2$.
Invece per $n=9$ viene [circa] $f(δ)=δ>0$.

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@ Alex Perché non sei intervenuto qua?
––> Raggio della sfera circoscritta ad un tetraedro irregolare

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[axpgn]

@Erasmus

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Perché già in due dimensioni faccio notevole fatica, in tre sono completamente perso ...
Dato che un tempo mi dilettavo con le stelle, ogni tanto tornava la voglia di cimentarmi con il calcolo di angoli e traiettorie ma non avendo neppure le basi ... e ormai neanche la voglia ... mi consolo con le foto fatte da un mio amico carissimo (lui una meridiana l'ha costruita veramente )

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@Erasmus

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Comunque, giusto per sfizio, ho fatto qualche conto e sperando che siano giusti, il raggio della sfera circoscritta a quel tetraedro viene circa $r~=73,5$

[orsoulx]

Mi pare che nessuno abbia fornito una soluzione idonea ad una "gara a squadre" per l'esercizio (a).
Cosa capita con n=8 nell'intorno sinistro di 1? A parte l'uso sbarazzino dei grafici (dovrebbero essere tracciati a mano libera e senza calcolatrice).

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Giammaria esamina la derivata prima, che in 1 vale 0 e, quindi, non è dirimente.
Dan95 sostiene che $ x^(7x)<x^7 $, mentre è sempre $x^x>=x$.
Erasmus dimentica il $ delta $ all'esponente

Ho provato a sviluppare in serie di Taylor, come ovvio funziona, ma son certo che non riuscirei mai ad arrivare al risultato corretto nell'ambiente di una gara. Boh!
Ciao

[dan95]

@orsoulx

Mai contraddire un neolaureato in matematica quindi leggi bene... io non sostengo quello che hai detto tu

[orsoulx]

@dan95
perdonami, avevo letto le 'soluzioni' da qualche giorno e mi sono, imprudentemente, fidato della mia memoria. Prometto di non farlo più.
E per n=8?
Complimenti per il traguardo (triennale o specialistica?), però io sono arrivato prima, sfruttando il vantaggio che mi hai dato alla partenza.
Ciao

[giammaria]

@ orsoulx
Scusami, ma non ti capisco.

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Scrivi "Giammaria esamina la derivata prima, che in 1 vale 0 e, quindi, non è dirimente". i miei calcoli sono:
curva 1) $y'(1)= 7*1^7(ln1+1)=7$
curva 2) $y'(1)=n*1^(n-1)-1=n-1$
Nessuna delle due derivate vale zero ed i due valori sono diversi (con valori uguali non sarebbe dirimente).

Con $x=0$, la derivata della curva 1 non esiste ma tende a $-oo$; quella della curva 2 vale $-1$ per $n>1$. Per $n=1$ la curva 2 diventa $y=1$ e la tesi è dimostrata.

[orsoulx]

...ed i due valori sono diversi...

Quando $ n=8 $ non noto differenze fra $ 7 $ ed $n-1 $. Tu si?
Ciao

[giammaria]

La mia risposta mirava proprio ad ottenere $n<=8$; non era un numero che figurasse fra i dati.
D'accordo, avrei fatto meglio a scrivere che i due risultati non sono la stessa cosa (dato che uno dipende da $n$ e l'altro no).
Ciao anche a te.

[orsoulx]

@Giammaria
Dico che che dal tuo primo intervento si ricava che, usando solo la derivata prima, non si può stabilire se, con $ n=8 $, la condizione assegnata risulta verificata (almeno in un intorno sinistro di 1, tralasciando quel che succede da altre parti).
Sostieni che non mi capisci e ribadisci il medesimo concetto.
Come avrebbe potuto la squadra concorrente rispondere con $ 0008 $ a questo quesito con sicurezza?? Io non lo so e mi piacerebbe saperlo.
Ciao