Ecco l'accorgimento che ho usato nel secondo problema.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Poiché $(x+-1)^4=(x^4+6x^2+1)+-4x(x^2+1)$
le due equazioni sono
$2p(x)=(x^4+6x^2+1)[s(x)+g(x)]+4x(x^2+1)[s(x)-g(x)]$
$-64=(x^4+6x^2+1)[s(x)-g(x)]+4x(x^2+1)[s(x)+g(x)]$
Pongo ora
$a(x)=s(x)-g(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=x(a_0x^2+a_2)+(a_1x^2+a_3)$
$b(x)=s(x)+g(x)=b_0x^3+b_1x^2+b_2x+b_3=x(b_0x^2+b_2)+(b_1x^2+b_3)$
e la seconda equazione diventa
$-64=(x^4+6x^2+1)[x(a_0x^2+a_2)+(a_1x^2+a_3)]+4x(x^2+1)[x(b_0x^2+b_2)+(b_1x^2+b_3)]$
Faccio i prodotti, scrivendo in due righe diverse i pezzi con esponenti pari e dispari.
$-64=(x^4+6x^2+1)(a_1x^2+a_3)+4x^2(x^2+1)(b_0x^2+b_2)+$
$" "" "+x(x^4+6x^2+1)(a_0x^2+a_2)+4x(x^2+1)(b_1x^2+b_3)$
Il principio di identità dei polinomi fornisce ora due sistemi diversi, uno per riga, e precisamente
${(a_1+4b_0=0),(a_3+6a_1+4b_2+4b_0=0),(6a_3+a_1+4b_2=0),(a_3=-64):}$ ${(a_0=0),(a_2+6a_0+4b_1=0),(6a_2+a_0+4b_3+4b_1=0),(a_2+4b_3=0):}$
La soluzione del primo sistema è un po' lunga; quella del secondo è più breve, anche perché, trattandosi di un sistema lineare omogeneo, ci aspettiamo soluzioni nulle (e lo sono, ma occorre controllare che il sistema non sia indeterminato). Alla fine troviamo
$a_1=-80;" "a_3=-64;" "b_0=20;" "b_2=116;" "a_0=a_2=b_1=b_3=0$
Il resto non ha storia.
Per completezza, ho preferito calcolare prima p(x) e poi p(2), ma avrei anche potuto porre subito x=2 nei vari pezzi, ed avrei risparmiato i prodotti fra polinomi. Oppure si può sfruttare il suggerimento di axpgn.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)