giammaria ha scritto:Si può rispondere alla mia domanda usando, di tridimensionale, solo la formula per il volume di una piramide ed il teorema delle tre perpendicolar [...]
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@ giammaria
Per la stima che ho di te dovrei crederti sulla parola!
Ma io (che conosco ... – ed ho anche insegnato! – il "Teorema delle 3 perpendicolari) non vedo come possa essere sfruttato per trovare la distanza di un vertice dal piano della faccia opposta.
Per favore ... esponi tu la procedura che hai trovato per calcolare l'altezza della piramide conoscendo le lunghezze dei lati della base e quelle degli spigoli delle tre facce "laterali".
Suppongo che, nella sostanza, la "tua" procedura per calcolare l'altezza della piramide, contenga gli stessi passaggi che servono per calcolare il coseno di un angolo diedro.
[Insomma: la distanza del piede dell'altezza da un lato della base è il prodotto dell'altezza di una faccia laterale rispetto allo spigolo comune alla faccia-base per il coseno dell'angolo diedro con questo spigolo (cioè "faccia_base –faccia-laterale").
Ho visto che è intervenuto anche
orsoulx, ma non sono sicuro di aver raccolto tutti i suoi passaggi. Adesso mi viene in mente una procedura come chiede
giammaria.
Siano [b, d, f] e [c, d, e] le terne di spigoli di due facce laterali ( e [a, b, c] la terna di spigoli della faccia assunta come base). Le proiezioni ortogonali dello spigolo comune d sugli spigoli b e c della base siano rispettivamente
$m = (b^2 + d^2 – f^2)/(2b)$;
$n = (c^2 + d^2 – e^2)/(2c)$.
Queste proiezioni sono due lati di un quadrilatero i cui altri due lati sono i segmenti "distanze" del piede dell'altezza (della piramide) dai due spigoli b e c. Posso allora (con Carnot) calcolare la lunghezza d'una diagonale di questo quadrilatero: quella diversa da quella che ha per estremi l'estremo comune degli spigoli b, c e d ed il piede dell'altezza sulla faccia_base.Posso allora calcolare gli angoli del triangolo costituito da questa diagonale (nota) e dalle distanze (incognite) dei suoi estremi dal piede dell'altezza. Finalmente, col teorema dei "seni" posso trovare una di queste distanze (per esempio quella dallo spigolo c) , Calcolata allora l'altezza della faccia rispetto a quello spigolo della base (che nell'esempio era c) , trovo con Pitagora l'altezza della piramide.
[Mi sa che la "procedura" di
orsoulx è proprio questa. Gli chiedo scusa: ma non me la sento di andarmela a rileggere con attenzione per controllare ... perché ormai
sono fuso e riesco a malapena a i miei "ragionamenti"]
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Oggi pomeriggio ho lavorato a comporre due immagini con figure e testo per mostrare la via più diretta per il calcolo del volume. Questa fa uso di un facile teorema di trigonometria sferica del quale metto più sotto la dimostrazione.
Ecco qua:
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Ieri, con pazienza certosina, ho sostituito le funzioni "coseno" che stanno nell'espressione del volume del tetraedro con le rispettive funzioni razionali (degli spigoli) ottenendo l'espressione che vedete nella figura seguente (relativa ad un tetraedro con gli spigoli disposti come nella prima figura di questo mio intervento).
Accidenti non si vede tutta! Occorre aprirla fuori del forum. Allora metto il
link apposito:
––>
Formula del volume del tetraedro irregolareSotto radice c'è un polinomio con ben 22 termini. Ma è facilissimo ricordare come è fatto!
Bisogna prima vedere quali sono le tre coppie di spigoli opposti (cioè "non complanari") e quali sono le quattro terne di spigoli che sono i lati delle quattro facce.
Nel disegno qui sopra si nota che le coppie di spigoli opposti sono
[a, d]; [b, e]; [c, f]
e che le terne lati delle facce sono
[a, b, c]; [a, e, f]; [b, d, f ]; [c, d, e].
Allora l'espressione sotto radice si costruisce come segue:
a) Si fa il prodotto dei quadrati di due spigoli opposti e lo si moltiplica per la somma dei quadrati di tutti i sei spigoli ma poi si cambia il segno da "+" a "–" dei due addendi che sono i quadrati degli stessi spigoli opposti.
Dunque, per la coppia di spigoli opposti [a, d] abbiamo:
$a^2d^2(–a^2 + b^2 + c^2 – d^2 + e^2 + f^2)$·
Per la coppia di spigoli opposti [b, e] abbiamo:
$b^2e^2(a^2 - b^2 + c^2 +d^2 –e^2 + f^2)$.
Per la coppia di spigoli opposti [c, f] abbiamo
$c^2f^2(a^2 + b^2 – c^2 + d^2 + e^2 –f^2)$.
Naturalmente si fa la somma di queste tre espressioni (arrivando fin qua a 18 termini).
b) Alla precedente somma si sottraggono i quattro prodotti dei quadrati dei lati delle 4 facce; si aggiunge cioè:
$–(a^2b^2c^2 + a^2e^2f^2+b^2d^2f^2+c^2d^2e^2)$.
c) Si fa la radice quadrata di questa sfilza di 22 termini (12 a coefficiente 1 e 10 a coefficiente –1) e la si divide per 12.
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P.S. (Editando)
Ho corretto un errore (di ortografia – c'era un "verà" con una sola "r" al posto di "verrà" – e così ho dovuto rifare l
'hosting e inserire l'immagine nuova.
Ciao ciao.