Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda mathos2000 » 05/08/2018, 13:44

Salve,
il seguente esercizio si può risolvere scrivendo tutti gli orari in una tabella. Ma credo che venga molto più interessante da risolvere con uno strumento matematico.
Purtroppo il minimo comune multiplo non è applicabile, in quanto ci sono soste.
Ci sono idee?

Qui l'esercizio:

<<Il traghetto da Termoli impiega 1 ora e 40 minuti in mare aperto per raggiungere l'isola di San Domino e rimane attraccato per 40 minuti in entrambi i porti. Il servizio di hovercraft (veicolo a cuscino d'aria) che copre lo stesso tragitto tra i due porti impiega 60 minuti in mare aperto e rimane attraccato per 20 minuti in entrambi i porti.

Se entrambe le imbarcazioni partono da Termoli alle ore 8.00, a che ora saranno attraccati nello stesso porto simultaneamente?>>

Soluzione:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Alle ore 14.20
mathos2000
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Re: Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda marcorossi94 » 05/08/2018, 22:44

A Termoli la x-esima volta arriva dopo
$240x+40(x-1)$ minuti per il traghetto
$80x+20(x-1)$ minuti per lo hovercraft

Uguaglia le due espressioni e trova dopo quante volte attraccano simultaneamente a Termoli.
Fai la stessa cosa con San Domino e guarda la soluzione più piccola tra le due.
marcorossi94
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Re: Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda giammaria » 07/08/2018, 07:22

Mi spiace, marcorossi94, ma la tua risposta non mi convince, e per due motivi.

1) Tu calcoli a che ora attraccheranno nello stesso porto simultaneamente, ma il testo chiedeva a che ora saranno attraccati nello stesso porto simultaneamente, e questo può avvenire anche con arrivi in momenti diversi. Basta che la seconda imbarcazione attracchi durante la sosta della prima.

2) Dai per scontato che in quel momento il numero $x$ di attracchi sia lo stesso per traghetto ed 'hovercraft, ma vediamo il seguente problema modificato: non ci sono soste e le traversate durano rispettivamente 70 e 30 minuti. Si troveranno assieme dopo 210 minuti, ma una ha fatto 3 traversate (e quindi attracca a San Domino per la seconda volta) mentre l'altra ne ha fatte 7 (e quindi vi attracca per la quarta volta).

La difficoltà maggiore del problema è certo data dalla presenza delle soste, ma le cose sono ulteriormente complicate dal fatto che i porti sono due. Ho eliminato almeno quest'ultimo ostacolo modificando la domanda in "a che ora saranno attraccati simultaneamente, non importa se nello stesso porto o no?", ma anche così non saprei rispondere se non scrivendo tutti gli orari in una tabella.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda Erasmus_First » 09/08/2018, 14:42

Nessuna "generalizzazione"!
mathos2000 ha scritto:[...]Purtroppo il minimo comune multiplo non è applicabile, in quanto ci sono soste.
Ma certo che è applicabile il minimo comune multiplo!
Fregatene del "mare aperto", dell'andata e del ritorno, dei tempo di sosta prima di ripartire e del porto San Domino!
O meglio: con i dati del testo trova:
a) l'intervallo di tempo tra due arrivi consecutivi a Termoli del traghtto (che è di 280 minuti);
b) l'intervallo di tempo tra due arrivi consecutivi a Termoli dell'hovercraft (che è di 160 minuti);
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$280=2^3·5·7$; $160=2^5·5$; m.c.m(280, 160) = $2^5·5·7$ = 1120.
Se una volta hovercraft e traghetto partono da Termoli [o arrivano a Termoli] contemporaneamente, partono da Termoli [o arrivano a Termoli] un'altra volta ancora contemporaneamente dopo 1120 minuti = 18 ore e 40 minuti, cioè dopo 4 viaggi di andata e ritorno (soste comprese) del traghetto e 7 viaggi di andata e ritorno (soste comprese) dell'hovercraft.

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Re: Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda giammaria » 09/08/2018, 15:38

@ Erasmus_First
I tuoi calcoli sono esatti, ma rispondono ad una domanda diversa da quella posta. Ed infatti la tua risposta è diversa da quella indicata nello spoiler della prima mail (che è giusta; l'ho controllato con una tabella degli orari).
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda Erasmus_First » 11/08/2018, 17:38

giammaria ha scritto:@ Erasmus_First
I tuoi calcoli sono esatti, ma rispondono ad una domanda diversa da quella posta. Ed infatti la tua risposta è diversa da quella indicata nello spoiler della prima mail (che è giusta; l'ho controllato con una tabella degli orari).

Il testo ... – ad essere pignoli (come è giusto essere di fronte ad un quiz) – non è affatto chiaro!
Per esempio, è detto che "il traghetto da Termoli impiega 1 ora e 40 minuti in mare aperto per raggiungere l'isola di San Domino". Che ci sta a fare la precisazione "in mare aperto"? Il traghetto impiegherà pure del tempo ad uscire deal porto di Termoli e ancora del tempo ad entrare nel porto di San Domino. E questi tempi non passano affatto "in mare aperto"!
Quel che conta, per stilare un orario, non è il tempo di viaggio "in mare aperto", bensì l'intervallo di tempo tra la partenza da un porto (proprio il passare da "fermo" a "in moto") e l'attracco nell'altro porto (proprio il passare da "in moto" a "fermo").
Inoltre ... nel testo non è detto quanto tempo impiega il traghetto nel viaggio inverso da San Domingo a Termoli.
Ed il testo della domanda
«Se entrambe le imbarcazioni partono da Termoli alle ore 8.00, a che ora saranno attraccati nello stesso porto simultaneamente?»
è perfettamente compatibile con la mia interpretazione del quesito!
Infatti è innegabile che precedentemente – anche di un tempo infinitesimo :-D – all'istante in cui le due imbarcazioni salpano contemporaneamente c'è un intervallo di tempo in cui entrambe sono "attraccate".
Il tempo di attracco contemporaneo è 20 minuti. Ovviamente sarebbero attraccate contemporaneamente ancora per 20 minuti anche se l'hovercraft salpasse 20 minuti prima del traghetto
La mia interpretaziione sarebbe sbagliata se nella domanda si chiedesse l'ora in cui le due imbarcazioni "attraccheranno" (ossia un "tempo determinato" – per dirla con l'analisi logica dei complementi di tempo – ), mentre nella domanda si legge "saranno attraccate", [che come tempo verbale è un "futuro anteriore"].
[Ma chi è quel cane di insegnante che fabbrica queste schifezze di quesiti?Immagine Immagine ]
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Re: Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda giammaria » 11/08/2018, 20:26

Effettivamente il testo non è dei migliori, ma le mie obiezioni restano. Esemplifico la mia interpretazione con delle ore di arrivo completamente inventate; rispetto invece i tempi di sosta (40 minuti per il traghetto e 20 per l'hovercraft).
Supponiamo che il traghetto arrivi in un porto alla 12,00 e vi resti fino alle 12,40 e che l'hovercraft arrivi in quel porto alle 12,30 e vi resti fino alle 12,50. Le due imbarcazioni saranno quindi attraccate nello stesso porto dalle 12,30 alle 12,40.
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Re: Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda giammaria » 12/08/2018, 18:05

Finora ho criticato le soluzioni altrui; penso che sia ora che ne dia una mia, sperando che non vogliano vendicarsi troppo ferocemente. Lo faccio in una nuova mail perché in passato qualcuno si è lamentato di non aver visto le modifiche fatte editando, dato che non vengono segnalate.
Comincio con alcune precisazioni:
- Chiamo sosta il tempo continuativo in cui si è fermi in un porto: 40 minuti per il traghetto e 20 minuti per l'hovercraft.
- Chiamo viaggio il tempo in cui si va da un porto all'altro: 100 minuti per il traghetto e 60 minuti per l'hovercraft.
- Trascuro i tempi infinitesimi.
- inizialmente non considero il fatto che i porti sono due; solo dopo noto che con un numero di viaggi pari si torna a Termoli, mentre un numero di viaggi dispari lascia a San Domino.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Caso A: le due imbarcazioni approdano nello stesso momento
Se il traghetto ha fatto $x$ viaggi, fra loro ci sono state $x-1$ soste; il tempo trascorso dall'inizio all'approdo finale è quindi $100x+40(x-1)=140x-40$.
Analogamente, se l'hovercraft ha fatto $y$ viaggi, il tempo è $60y+20(y-1)=80y-20$
Approdano contemporaneamente se
(1) $" "140x-40=80y-20$
da cui
$140x-20=80y->7x-1=4y$
Le equazioni diofantee non sono programma delle secondarie, ma questa si risolve facilmente per tentativi, trovando che la minima soluzione positiva è $x=3;y=5$. Entrambe le soluzioni sono dispari, quindi entrambe le imbarcazioni si trovano a San Domino. Il tempo totale si ottiene sostituendo un'incognita in un membro della (1), ed è 380 minuti, pari a 6 ore e 20 minuti.

Caso B: una imbarcazione arriva durante la sosta dell'altra.
Poiché tutti i dati sono multipli di 20 minuti, questo piò succedere solo se l'hovercraft arriva 20 minuti dopo il traghetto. La (1) va quindi modificata in
$" "140x-40+20=80y-20->...->7x=4y$
La minima soluzione positiva è $x=4;y=7$, da scartare per la diversa parità dei due numeri; la soluzione successiva è $x=8;y=14$, accettabile ma con un tempo superiore a quello del caso A.


Nel caso B ho potuto sfruttare il fatto che tutti i dati sono multipli di 20 minuti, ma con dati qualsiasi non saprei come cavarmela.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda orsoulx » 13/08/2018, 15:47

Erasmus_First ha scritto:La mia interpretaziione sarebbe sbagliata...
[Ma chi è quel cane di insegnante che fabbrica queste schifezze di quesiti?Immagine Immagine ]

La tua soluzione sarebbe sempre e comunque errata. Visto che calcoli quando, per al prima volta, le due imbarcazioni salperanno di nuovo contemporaneamente da Termoli, nella migliore delle ipotesi, cioè nel caso in cui non si siano mai ritrovate in altre occasioni accostate contemporaneamente ad un molo del medesimo porto, sbaglieresti di venti minuti.
Non mi pare molto educato apostrofare in quel modo l'ignoto estensore del quesito.
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
orsoulx
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Re: Generalizzazione del minimo comune multiplo?

Messaggioda Erasmus_First » 13/08/2018, 18:19

orsoulx ha scritto:La tua soluzione sarebbe sempre e comunque errata. [...]
Ho già scritto che sarebbe sbagliata se nella domanda ci fosse "attraccheranno", (perché per partire contemporaneamente l'hovercraft attracca 20 minuti dopo del traghetto).
Ma nella domanda si legge "saranno attraccati" (che interpreto con soggetto sottinteso "traghetto e hovercraft" -entrambi di genere maschile – ; oppure come erroruccio [forse di battitura] in luogo di "saranno attraccate" – riferito alle "due imbarcazioni" –).
Mentre "attraccare" è una azione (che avviene in un "tempo determinato"), "essere attraccati" è uno stato (che dura un "tempo continuato"). [Nei 20 ninuti prima di partire contemporaneamente entrambe le imbarcazioni "sono attraccate" nel medesimo porto. NB: l'ausiliare di attraccare è "avere", quindi "saranno attraccati" non è correttamente interpretabile come furturo anteriore (contrariamente a quanto ho scritto prima).
orsoulx ha scritto:Non mi pare molto educato apostrofare in quel modo l'ignoto estensore del quesito.
Hai ragione! Chiedo scusa.
M'è venuto l'impulso di usare l'espressione che una volta una mia ex-collega (che era stata anche l'insegnante di Matematica e Fisica di mio figlio) ha usato in riferimento all'autore del testo della prova di matematica di un esame di maturità in cui era successo che, col permesso non solo del presidente della commissione ma anche del provveditorato (consultato telefonicamente dal presidente), un commissario insegnate di matematica ha dovuto spiegare il testo (o meglio: precisarne il significato) perché effettivamente equivocabile.
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