Funzione logaritmo ed esponenziale

[rombo]

La funzione esponenziale è definita come $y=a^x$ con $a,y > 0$ ed $a!=1$ con $x \in RR$
La funzione logaritmo è definita come $y=log_a(x)$ con $a,x > 0$ ed $a!=1$ con (se non sbaglio) $y!=0$

E' dimostrabile che la funzione logaritmo è l'inversa della funzione esponenziale e vale l'implicazione:

$a^x = y$ -> $x = log_a(y)$

Per arrivare alla forma $y=\log_a(x)$ si deve "scambiare" $x$ con $y$, ma non riesco a giustificare questo passaggio e le varie restrizioni nei valori che avrà $x$ ed $y$. La funzione logaritmo non è simmetrica, a meno che lo "scambio" non sia una traslazione degli assi prendendo come riferimento la bisettrice $y=x$. Ma non cambia il dubbio sulle restrizioni del campo di esistenza perché abbiamo:

$a^x = y$ con $a > 0$, $a!=1$ e $y > 0$, $x \in RR$
l'inversa è $x = log_a(y)$ con restrizioni come sopra ma con $x != 0$ non essendoci $log(y) = 0$

Ora se "scambio" $x$ con $y$ dovrò restringere ulteriormente, quindi farò un sistema:

1. $x = \log_a(y)$
2. $y=\log_a(x)$

che risulta verificato per: $a > 0$, $a!=1$ e $y > 0$ e $x>0$
Ma questo non corrisponde con il campo di esistenza della funzione logaritmo perché può avere anche valori negativi come risultato.

Grazie a chi mi aiuta.

[Zero87]

Ho spostato la discussione nella sezione "scervelliamoci un po'" perché, oltre a essere un approfondimento rispetto alle secondarie di secondo grado, ho (vaghi) ricordi universitari sul fatto che logaritmo ed esponenziale si definiscano con le serie e che la definizione non sia semplice.

Di mio faccio solo un appunto

La funzione logaritmo è definita come $ y=log_a(x) $ con $ a,x > 0 $ ed $ a!=1 $ con (se non sbaglio) $ y!=0 $

qui c'è un'imperfezione il campo di definizione riguarda il dominio di una funzione mentre il codominio è il risultato dell'applicazione al dominio della funzione stessa. Quindi non ha senso dire $y \ne 0$: oltretutto, se $x=1$, hai $y=0$...

[giammaria]

Non so se rombo ha capito la risposta di Zero87; provo a darla con parole diverse.
Consideriamo la funzione $y=2x-3$, da cui si ricava $x=(y+3)/2$. Poiché però è abituale dare le funzioni nella forma $y=f(x)$, scambiamo i nomi e diciamo che l'inversa della funzione data è $y=(x+3)/2$. Questo scambio trascina con sé le eventuali limitazioni; ad esempio se nella formula iniziale ci fosse stato $5<x<6$ (e quindi $7<y<9$), in quella finale avremmo $5<y<6$ e $7<x<9$. Quello che importa è il concetto, non il nome che diamo alle variabili.
Così è nel tuo caso: ferme restando le limitazioni su $a$ (che non citerò più), in $y=a^x$ la $x$ può essere un reale qualsiasi (scrivo $x in R$), mentre si ha sempre $y>0$. Ricavando $x$ abbiamo $x=log_a y$ ($x in R;y>0$) e scambiando i nomi $y=log_a x$ ($y in R;x>0$)

[Erasmus_First]

[...]
$a^x = y$ -> $x = log_a(y)$

Per arrivare alla forma $y=\log_a(x)$ si deve "scambiare" $x$ con $y$, ma non riesco a giustificare questo passaggio [...]

Ma non c'è niente da giustificare!
Se consideri una sola funzione sei libero di usare come simboli delle variabili quelli che preferisci!
Andrebbe bene anche scrivere (per esempio) $β = log_a(α)$ – o qualunque altra coppia di simboli – !
Quando si parla di una funzione ad una variabile, è consuetudine chiamare $x$ la variabile indipendente ed $y$ quella dipendente. Tant'è che nello studìio generale i testi scrivono tutti "$y = f(x)$".
Quindi, quando si parla della funzione esponenziale (e di solito la si sottointende di base "$e$") si scrive di solito
$y = e^x$ (o anche $y = Esp(ìx)$).
Quando si parla del logaritmo (e di solito si sottointende che sia quello di base "$e$") si scrive
$y = log_a(x)$ e $y = ln(x)$ per intendere "y = log_e(x)$
Naturalmente, siccome il logaritmo e l'esponenziale sono funzioni una inversa dell'altra, quando si debba trattare dell'una e dell'altra nello stesso contesto, allora (e solo allora) se si scrive $y=e^x$ bisogna scrivere "x = ln(y)$ (oppure $x = log_e(y)$). E se si scrive $y = ln(x)$ si scriverà (all'occorrenza) $x = e^y$
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Occhio al vocabolario (per non equivocare)!
La funzione esponenziale di base $a$ si indica con la scrittura $y=a^x$, (NON "è definita come $y=a^x$").
Analogamente dicasi per il logaritmo.
Che una è inversa dell'altra non si domostra!
La definizione di una delle due funzioni (ignorando l'altra) è piuttosto "laboriosa"!
A me il famigerato "Giuseppe Scorza Dragoni" ha insegnato dapprima definizione di $a^x$ (e non è ora il caso di riportarla). Ma altri autori (per esempio Tom Apostol, da me conosciuto trent'anni dopo di Scorza) prima introduce la funzione "logaritmo naturale" (cioè in base $e$, ossia $ln(x)$, come primitiva di 1/x) e poi definisce l'esponenziale di base $e$ come inversa del "logaritmo naturale".
Occhio: Supposto di conoscere una delle due (esponenziale o logaritmo) e quindi di aver accertato che si tratta di funzione monotòna (in senso stretto), l'altra VIENE DEFINITA come L'INVERSA della prima.
[Quindi che una è inversa dell'altra non è da dimostrare, ma è nella stessa definizione 8analogamente a quando si definisce la radice quadrata una volta che si sappia cos'è il quadrato!
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