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Se $f(x)$ è la costante $k$ l'equazione diventa
$k=k-k-1" "->" " k=-1$
e quindi la prima soluzione è $f(x)=-1$

Se invece $f(x)$ non è costante allora, posto
$u=x-f(y)" "->" "f(y)=x-u$
notiamo che $u$ varia al variare di $y$, anche se $x$ resta immutata; $u$ è quindi una variabile che può sostituire $y$. L'equazione diventa allora
$f(u)=f(f(x))-x+u-1$
Indicando con $a$ ciò che non dipende da $u$, cioè ponendo
$a=f(f(x))-x-1$
abbiamo $f(u)=u+a$. Quindi $f(f(x))=f(x+a)=x+a+a=x+2a$ e la formula precedente diventa
$a=x+2a-x-1->a=1$
Si ha quindi la soluzione $f(x)=x+1$

In generale non sappiamo che $f$ è suriettiva. Quindi non possiamo dire che $u$ assume necessariamente tutti i valori in $ZZ$

1) $EE a in ZZ$ tale che $f(a)= -1$
2) $y=a => ...$

Si deduce che più valori distinti assume $f(x)$ più periodi ha, da qui si deduce (in qualche modo) che o è costante o è iniettiva.

Non c' quindi nessuna garanzia che esista una $a$ per cui $f(a)=-1$ (hint di Gi8) e nemmeno che $f(x)$ possa assumere più di due valori distinti (hint di dan95).
Se sbaglio ed anche l'insieme delle $y$ coincide con $ZZ$, allora va bene la mia prima risposta.

Se sostituisci $y=f(x)$ all'equazione funzionale ottieni

$f(x-f(f(x)))=-1$

per ogni $x \in \mathbb{Z}$, quindi questo garantisce l'esistenza di almeno un intero. Sempre se ho capito quello che intendi.


Mostro fin dove sono arrivato usando il tuo primo approccio.

Abbiamo dimostrato che esiste $a \in \mathbb{Z}$ tale che $f(a)=-1$, ora sostituendo $x=a$ e $y=a$ otteniamo

$f(a+1)=f(-1)$

Ora se $f(-1)=-1$ allora la funzione è costante, infatti se si sostituisce $x=a+k$ e $y=a$, con $k \geq 1$ otteniamo $f(a+k)=-1$, sia $b < a$, consideriamo $k=f(b)$ abbiamo che

$f(a-k)=-k-2$

Ora se $k<0$ allora $k=-1$, altrimenti se $k>0$ sostituendo $a \rightarrow a+k$ otteniamo

$f(a)=-k-2=-1$

Da cui sempre $k=-1$. Quindi $f(b)=-1$ per ogni $b<a$, in definitiva $f(x)=-1$.

Quindi supponiamo $f(-1) \ne -1$ e sia $k=f(-1)$ allora

$f(x)+m=f(x+m)$

Dove $m=k+1$. Definiamo $g(x):=x-f(x)$, risulta

$g(x)=g(x+m)$

Dunque $g(x)$ può assumere al più $|m|$ valori distinti cioè $g(0), \cdots, g(|m|-1)$, quindi $f(x)=x-g(x \mod m)$. Qua mi fermo...