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Step 1.
Esiste $a \in \mathbb{Z}$ tale che $f(a)=-1$.
Dim. Sostituiamo $y=f(x)$ all'equazione funzionale otteniamo
$f(x-f(x))=-1$
Ora, possiamo prendere ad esempio $a=-1-f(-1)$.
Step 2.
Vale $f(x+1)=f(f(x))$.
Dim. Sostituendo $y=a$ abbiamo che
$f(x+1)=f(f(x))$
Step 3.
Sia $m \ne -1$ allora $f(x+h)=f(x)+h$, con $h=m+1$.
Dim. Sia $y$ tale che $f(y)=m$ allora dell'equazione funzionale e dallo Step 2 abbiamo che
$f(x-m)=f(x+1)-m-1 \Rightarrow f(x)=f(x+m+1)-m-1$
L'implicazione segue dalla sostituzione $x \rightarrow x+m$. Quindi ponendo $h=m+1$ abbiamo
$f(x+h)=f(x)+h$
Step 4.
Vale $f(x+1)=f(x)+k$, dove $k=f(-1)+1$.
Dim. (Hintone)
Se $f(x)$ è una soluzione non costante dell'equazione funzionale allora $f(x)=x+1$.
Dim.
Come è facile mostrare l'unica soluzione costante è $f(x)=-1$. Quindi, supponiamo che esiste $y$ tale che $f(y)=m \ne -1$, dallo Step 3 abbiamo $f(x+h)=f(x)+h$, con $h=m+1$.
Dallo step 4 si deduce che per ogni intero $n$ si ha
$f(x+n)=f(x)+nk$, in particolare per $n=h$ abbiamo
$f(x+h)=f(x)+h=f(x)+hk \Rightarrow h(k-1)=0$
Ora, $h \ne 0$ perché $m \ne -1$ allora necessariamente $k=1$ ovvero
$f(x+1)=f(x)+1$
Definiamo $g(x):=f(x)-x$ abbiamo che $g(x+1)=g(x)$ cioè $g(x)=c$ costante allora $f(x)=x+c$ quest'espressione dallo step 2 abbiamo
$f(x+1)=f(f(x)) \Rightarrow x+1+c=x+2c \Rightarrow c=1$
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio
"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.
"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.
