Problema sul Massimo Comune Divisore

Messaggioda Francio99 » 06/09/2018, 13:48

Buongiorno a tutti, vorrei un aiuto sul seguente problema.

Dimostrare che la frazione $(21n + 4)/(14n+3)$ è irriducibile

Si può osservare che la frazione è irriducibile se $MCD( 21n + 4, 14n+3)=1$. Inoltre si può utilizzare la proprietà per cui $MCD(a,b) = MCD(a, a-b)$. Dunque $MCD( 21n + 4, 14n+3)=MCD(21n + 4, 7n+1)$. A questo punto la soluzione dell'esercizio non mi è più chiara. Vi allego il passaggio che ho trovato nella soluzione:
$d = MCD(21n+4, 14n+3) = MCD(21n+4, 7n+1) = MCD(21n+4, 1) = 1$

Perché $MCD(21n+4, 7n+1) = MCD(21n+4, 1)$ ? Grazie mille in anticipo
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Re: Problema sul Massimo Comune Divisore

Messaggioda axpgn » 06/09/2018, 14:03

Penso perché $3*(7n+1)=21n+3$
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Re: Problema sul Massimo Comune Divisore

Messaggioda Francio99 » 06/09/2018, 14:10

Scusami, ma continuo a non capire.. $ MCD(3(7n+1)+1, 7n+1)=1$ ? Ed eventualmente perché?
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Re: Problema sul Massimo Comune Divisore

Messaggioda axpgn » 06/09/2018, 14:33

Vado a braccio … vediamo cosa ne esce ...

Posto $7n+1=a$ abbiamo $\text(MCD)(ka+1,a)=r$ con $k in NN$

Ora proprio per la proprietà che hai detto avremo

$\text(MCD)(ka+1,a)=\text(MCD)(ka+1-a,a)=\text(MCD)((k-1)a+1,a)$

Questo giochetto lo puoi ripetere ma non all'infinito, in quanto essendo $k in NN$ avremo un minimo, perciò prima o poi si arriverà a $k=1$ da cui $\text(MCD)(a+1,a)=1$

Mi pare funzioni, che ne dici?

Cordialmente, Alex
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Re: Problema sul Massimo Comune Divisore

Messaggioda dan95 » 06/09/2018, 15:11

L'algoritmo di Euclide...
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio

"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.

"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.
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Re: Problema sul Massimo Comune Divisore

Messaggioda Francio99 » 07/09/2018, 08:41

axpgn ha scritto:Vado a braccio … vediamo cosa ne esce ...

Posto $7n+1=a$ abbiamo $\text(MCD)(ka+1,a)=r$ con $k in NN$

Ora proprio per la proprietà che hai detto avremo

$\text(MCD)(ka+1,a)=\text(MCD)(ka+1-a,a)=\text(MCD)((k-1)a+1,a)$

Questo giochetto lo puoi ripetere ma non all'infinito, in quanto essendo $k in NN$ avremo un minimo, perciò prima o poi si arriverà a $k=1$ da cui $\text(MCD)(a+1,a)=1$

Mi pare funzioni, che ne dici?

Cordialmente, Alex


Grazie! Adesso è molto più chiaro :)
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Re: Problema sul Massimo Comune Divisore

Messaggioda rockthenight » 30/11/2018, 17:25

Ciao,un mio allievo ha dato la seguente soluzione:sia k fattore comune al numeratore e denominatore;allora:
21n+4=0(MOD K)
14n+3=0(MOD K)

ossia:
42n+8=0(MOD K)
42n+9=0 (MOD K)
sottraendo membro a membro:
1=0 (MOD K)
perciò irriducibile
:-)
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