Problema di Combinatoria

[Francio99]

Buongiorno ragazzi. Vorrei un aiuto con il seguente esercizio.

Ad una caccia al tesoro partecipano 2n persone, con n intero:'.:: 3. Vengono suddivise
in n coppie. Per ogni coppia viene stabilito un "capo". Ad una delle coppie viene dato
il compito di fare i giudici, e anche fra loro uno dei due sarà il giudice capo e l'altro sarà
l'assistente. In quanti modi diversi si può organizzare questa caccia al tesoro? [Nota: due
organizzazioni si considerano uguali se e solo se gli n capi sono gli stessi, ciascun capo ha
lo stesso compagno di squadra, e inoltre il ruolo di giudice è affidato alla stessa squadra].

Ho ragionato come segue (sul caso n=3 per semplicità). Con n=3 si hanno 6 partecipanti e 3 coppie. Ho dunque pensato che posso scegliere la prima coppia in $(6/2)$ modi (scusate ma non trovo il codice per scrivere il coefficiente binomiale), mentre la seconda coppia in $(4/2)$ modi diversi, la terza coppia (vien da sé) si formerà con le due persone restanti. Stabilite le coppie, posso scegliere la squadra che farà da giudice in 3 modi (in quanto ho solo 3 coppie). A questo punto all'interno di ogni squadra potrò scegliere il capo in 2 modi, quindi 6 in quanto ho tre squadre. Pertanto la risposta dovrebbe essere:

$(6!)/(2!*4!) * (4!)/(2!*2!) * 1 * 3 * 6 = (6!)*3$. Tuttavia l'esercizio riporta come soluzione $(n+1)! * ((2n) / (n-1))$
dove con $((2n) / (n-1))$ indico il coefficiente binomiale. Dunque in cosa ho sbagliato nel mio ragionamento? Grazie mille

[giammaria]

Io ottengo direttamente $((2n)!)/((n-1)!)$ ed è un altro modo di scrivere la soluzione del libro (che evidentemente in ragionato in modo diverso da me). Se vuoi, e se non interviene nessun altro, ti scriverò il mio ragionamento.
Per il cosa hai sbagliato, un errore è qui

all'interno di ogni squadra potrò scegliere il capo in 2 modi, quindi 6 in quanto ho tre squadre.

No: quindi $2^3=8$. Ci deve essere però essere anche un altro errore, dato che questa correzione non basta per avere il risultato giusto.
Per la scrittura dei coefficienti binomiali, puoi usare le istruzioni che la guida dà alla voce Matrici. Ad esempio, io ottengo $((6),(2))$ scrivendo ((6),(2)) fra segni del dollaro.

[Francio99]

Ciao! Effettivamente le ho contate a mano e non sono 6 ma 8, posso chiederti come ci si arriva a $2^3$? Comunque si, lo apprezzerei molto se mi scrivessi la tua soluzione grazie

[giammaria]

Per il $2^3$: nella prima squadra posso scegliere il capo in due modi. Per ognuno di questi modi, posso scegliere il capo della seconda squadra in due modi: finora ho $2*2=4$ modi. Per ognuno di questi 4 modi, ho due modi per il capo della terza squadra: in tutto ci sono $2*2*2=2^3$ modi.

La mia soluzione è la seguente.
Dopo aver formato le squadre faccio allineare tutte le persone con i seguenti criteri:
- i membri di una stessa squadra stanno vicini fra loro ed il capo sta prima dell'assistente;
- la prima squadra è quella dei giudici e le altre squadre sono ordinate con un mio criterio arbitrario.
Le persone sono $2n$, quindi gli allineamenti possibili sono $(2n)!$
Ho però dovuto usare un mio criterio arbitrario, quindi questo risultato va diviso per il numero di criteri possibili, cioè per $(n-1)!$ , quante sono le permutazioni delle squadre non giudici.