Un limite inaspettato

[Erasmus_First]

Dimostrare che al tendere di $n$ all'infinito il limite di $s_n = n[–ln(2)–sum_{k=1}^(n-1)(-1)^k/k]$ è $s_∞ = ...$
[Non te lo dico! Trovatelo tu! ]
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[Erasmus_First]

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Nel precedente messaggio ... ho spudoratamente barato per aspettare le dovute critiche che mi avrebbe fatto Alex ... o forse dan95, o orsoulx o altri scrupolosi utenti!

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[Erasmus_First]

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Nel precedente messaggio ... ho spudoratamente barato per aspettare le dovute critiche che mi avrebbe fatto Alex ... o forse dan95, o orsoulx o altri scrupolosi utenti!

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Per prima cosa correggo quanto, barando, avevo imbrogliato.
Il quesito corretto e completo è:
«Dimostrare che al tendere di $n$ all'infinito il limite di $s_n = n|sum_{k=1}^(n-1)(-1)^k/k + ln(2)|$ è $s_∞ = 1/2$»
o, più precisamente:
«Posto per ogni n intero positivo $s_n=n[ln(2)+sum_{k=1}^(n-1)(-1)^k/k]$, dimostrare che al crescere indefinitamente dell'indice $n$ il termine corrente $s_n$ tende a valere $1/2$ per $n$ dispari e $-1/2$ per $n$ pari»
La tesi si verifica subito "sperimentalmente".
Per esempio:
$199[ln(2)+sum_{k=1}^(198)(-1)^k/k]≈0,5012562655$; $1999[ln(2)+sum_{k=1}^(1998)(-1)^k/k]≈0,50012506251$;
$19999[ln(2)+sum_{k=1}^(19998)(-1)^k/k]≈0,500012500365$;

$200[ln(2)+sum_{k=1}^(199)(-1)^k/k]≈–0,5012499844$; $2000[ln(2)+sum_{k=1}^(1999)(-1)^k/k]≈ -0,50012499999$;
$20000[ln(2)+sum_{k=1}^(19999)(-1)^k/k]≈–0,500012500260$.

La prova teorica della tesi ... non la so!
Essendo $ln(2) = -sum_{k=1}^(+∞)(-1)^k/k$, si ha:
$n[ln(2)+sum_{k=1}^(n-1)(-1)^k/k]=-nsum_{k=n}^(+∞)(-1)^k/k=-(-1)^n(1–n/(n+1)+n/(n+2)-n/(n+3)+...)=$
$=(-1)^(n+1)sum_{k=0}^(+∞)n/((n+2k)(n+2k+1))$
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[Erasmus_First]

In sostanza, resta da trovare una prova deduttiva del fatto che, posto per n intero positivo:
$a_n=sum_(k=0)^(+∞)(-1)^k n/(n+k) = 1–n/(n+1)+n/(n+2)-n/(n+3)+n/(n+4)-n//n+5)+...$,
per $n$ tendente a $+∞$ $a_n$ tende ad 1/2.
Una prova non rigorosa e tuttavia – secondo me – sodisfacente potrebbe essere la seguente.
Consideriamo la serie geometrica di ragione $-e^(-1/n)$
$1 -e^(-1/n) +e^(-2/n)-e^(-3/n)+... =sum_(k=0)^(+∞)(-1)^ke^(-k/n)$
che vale notoriamente $1/(1+e^(-1/n))$, valore che tende ad 1/2 al tendere di $n$ a $+∞$.
Infine, $e^(-k/n) = 1/e^(k/n)$ che per $n$ molto grandee rispetto a $k$ vale circa proprio $1/(1+k/n) = n/(n+k)$.
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[totissimus]

@Erasmus_First
Applica il teorema di Cesaro