funzioni

[lschiavone]

Si chiede di trovare tutte le f: R->R tali che ee $ f(x)f(y)=f(sqrt(x^2+y^2) $
idee?

[giammaria]

Una risposta l'avrei, ma con un punto debole, che evidenzierò con qualche parola in rosso.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se cambio il segno ad $x$ e sottraggo membro a membro, ottengo
$[f(-x)-f(x)]*f(y)=0$
quindi o la funzione è la costante zero (e questa è una prima soluzione) oppure si ha $f(-x)=f(x)$ (secondo caso, in cui posso iniziare considerando solo $x>=0$ e poi estendendo ad $x<0$). E' anche possibile un ibrido fra i due casi, dato da
$f(x)={(1 if x=0),(0 if x!=0):}$
Continuo esaminando il secondo caso.

Se $y=x$, l'equazione diventa
$[f(x)]^2=f(x sqrt2)$
e questo garantisce che la funzione non può assumere valori negativi. Scelto ora un arbitrario $x_0>0$ in modo tale che sia $a=f(x_0)>0$ (in base a quanto detto prima, la cosa è certo possibile), ho
$f(x_0 sqrt2)=[f(x_0)]^2=a^2$
$f(x_0 (sqrt2)^2)=[f(x_0 sqrt2)]^2=a^4$
$f(x_0 (sqrt2)^3)=[f(x_0 (sqrt2)^2)]^2=a^8$

ed in generale $f(x_0 (sqrt2)^n)=a^(2^n)$
Pongo ora
(*) $" "x=x_0(sqrt2)^n=x_0sqrt(2^n)->2^n=(x/x_0)^2$
ed ottengo
$f(x)=a^((x/x_0)^2)$
che, posto $b=a^((1/x_0)^2)$ (quindi $b>0$) può essere scritta nella forma più comoda $f(x)=b^(x^2)$
Se accettiamo anche $b=0$ questa formula include anche il caso $f(x)=0$, che all'inizio avevamo considerato separatamente. Se invece non lo accettiamo, possiamo porre $b=e^k$ e scrivere $f(x)=e^(kx^2)$.

Il punto debole è che la (*) collega $x$ al numero naturale $n$ e quindi dà solo valori discreti di $x$; contiene però anche l'arbitrario $x_0$ e quindi direi che vale anche nel caso continuo.