@melia ha scritto:«Sapendo che $a_1=1$
[...]
$a_(n+1)=1+n/a_n$ [o invece $a_(n+1)=(1+n)/a_n$ ?]
[...]
dimostrare che $AA n in NN$ $a_(n+1)>=a_n$ [...]»
Se fosse $∀n∈NN$ $a_(n+1)=(1+n)/a_n$ non potrebbe essere $∀n∈NN$ $a_(n+1)≥a_n$.
Infatti, dopo $a_1$ verrebbe:
$a_2 = 2$; $a_3 = 3/2 < a_2$;
$a_4 = 4·2/3 = 8/3$; $a_5 = 5·3/8 = 15/8 < a_4$; ...
E in generale $AA k in NN$ $a_(2k+3) < a_(2k+2)$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mi pare che questo sia più un esercizio di informatica che di analisi!
Chi può programmare può velocemente calcolarsi $a_n$ per $n$ crescente e verificare sperimentalmente ipotetiche risposte alle rispettive domande.
[Io – che non posso programmare – mi sono limitato a calcolare, un passo alla volta, $a_n$ fino ad $n = 81$]
Ho così potuto osservatoche, per $n >3$, $a_n$ è effettivamente crescente, maggiore di $sqrtn$ e minore di $sqrtn + 1/2$.
Supponiamo che sia buona la domanda: «Calcolare $lim_(n->+oo) a_n-sqrtn$».
Allora, per $n$ molto grande $(a_(n+1) - a_n)/a(n)$ dovrebbe essere positivo e molto piccolo rispetto ad $a_n$.
Pertanto, per $n$ molto grande dovrmmo avere $a_(n+1)/a_n ≈ 1$, ossia, posto $x=a_n$:
$x ≈ 1+ n/x$ ––> $x ≈ sqrtn + 1/2 + 1/(8sqrtn)$.
Quest'ultimo numero, per $n=36$, $n=49$, $n=64$ e $n=81$ vale rispettivamente
$x_36 ≈ 6,503$; $x_49 ≈ 7,5026$; $x_64≈8,50196$; $x_81≈9,5015$.
I corrispondenti termini della successione valgono:
$a_36 ≈ 6,4760$; $a_49 ≈ 7,4797$; $a_64≈8,4825$; $a_81≈9,4846$.
E' dunque plausibile che, al crescere di $n$, $a_n$ tenda asintoticamente a $sqrtn + 1/2$ e quindi che sia:
$lim_(n->+oo) a_n-sqrtn = 1/2$
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Mi sono "s-cervellato", ma non so se si può rispondere (e allora come si possa rispondere) alle domande per via deduttiva,
Se una qualche possibilità c'è, non mi pare che l'esercizio possa stare qui (in scuole pre-universitarie).
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