Una soluzione 'moderna'
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Sia $ABC$ un qualsiasi triangolo soddisfacente le condizioni assegnate.
Lemma 1)
Indicando con $ R' $ il corrispondente di $ R $ nella simmetria di asse $ BC $ si ha:
$/_CR'B$ retto in quanto corrispondente di $ /_CRB $
$ /_SAC + /_ACS=/_ASB=45° $ per essere $ /_ ASB $ angolo esterno del triangolo $ ASC $, da cui
$ /_BAC+/_ACR'=2/_SAC + 2/_ACS=2*45°=90° $, quindi $ AB _|_ CR' $.
$ A,B, R' $ sono allineati; $AR'C$ è un triangolo rettangolo e $B$ è l'intersezione del lato $ AR' $ con la bisettrice dell'angolo in $ C $ (credo che l'inverso di questo lemma sia il modo più rapido per costruire un triangolo soddisfacente le condizioni assegnate).
$ S $, intersezioni delle bisettrici degli angoli in $ A $ e $ C $, è l'incentro del triangolo $ AR'C $ e la semiretta $ R'S $ sarà la bisettrice dell'angolo retto in $ R'$, quindi $ /_SR'B = /_CR'S = 45°$ da cui (per la simmetria assiale) $ /_CRS= /_CR'S=45° $.
Traccia di una possibile dimostrazione 'classica'
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Detta $ \gamma $ la semicirconferenza di diametro $ AB$.
$ R $, piede dell'altezza relativa al lato $ A C $, deve appartenere a $ \gamma $.
La bisettrice $b$ dell'angolo in A taglia $ \gamma $ nel punto medio $M$ dell'arco $BR$.
Il triangolo $ BMS $, avendo $ BM _|_ MS $ e $ /_MSB=45°$ è rettangolo isoscele, quindi $S$ sarà l'intersezione (più lantana da $A$ ) di $b$ con la circonferenza $\delta$ di centro $ M $ passante per $ B $ ed $ R$.
$ /_SRB=45° $, per essere angolo alla circonferenza $\delta$ che sottende un quarto della medesima.
$ /_CRS= /_CRB-/_SRB=45°$.
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Penso che la mancanza di risposte a questo problema (negli anni '80 sarebbe stato un esercizio scolastico 'normale' in un Liceo Classico o Scientifico) faccia pensare in merito su "cosa sta succedendo al biennio?"
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.