Re: equazione goniometrica difficoltosa

[rosa munda]

Ciao. Non sono in grado di comprendere un esercizio proposto dal mio libro di testo.
E' questo:

$sen(5x)=16sen^5(x)$

il testo dice che è " facile verificare che":

$sen(5x)=16sen^5(x)−20sen^3(x)+5sen(x)$

Mi potreste dare un suggerimento su quali formule (addizione, bisezione, etc) rivolgere la mia attenzione per poter capire come si è arrivati a questa trasformazione?
Mi è stata suggerita dal sito una soluzione che prevede l'utilizzo di numeri complessi ma il mio testo (e io pure) è di livello inferiore e quindi penso ci sia un metodo più elementare con numeri reali.
Grazie infinite.

[dan95]

Calcola prima $\sin(4x)$ e $cos(4x)$ poi applica la formula dell'addizione per il seno con $4x$ e $x$

[Erasmus_First]

[...] questo:
$sen(5x)=16sen^5(x)$

Suppongo che sia da risolvere l'equazione $sin(5x)=16sin^5(x)$.
Ma prima parliamo un po' delle uguaglianze $∀n∈NN$ $sin[(2n+1)x] =sum_{k=0}^{n}c_(2k+1)sin^(2k+1)(x)$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

E' facile vedere che per ogni n naturale $sin[(2n+1)x]$ è traformabile in un polinomio di $sin(x)$ "dispari" (cioè con i termini dei soli gradi dispari). Cioè, in generale:
$sin[(2n+1)x] = c_1·sin(x) + c_3·sin^3(x) + ... +c_(2n+1)·sin^(2n+1)(x)]$
dove $c_1$, $c_3$, ..., $c_(2n+1)$ sono coefficienti opportuni.
Abbiamo, in generale
$sin[(2n+1)x] =sin(2nx + x) = sin(2nx)·cos(x) + cos(2nx)·sin(x)$;
$sin[(2n-1)x] =sin(2nx - x) = sin(2nx)·cos(x) - cos(2nx)·sin(x)$. E sottraendo membro a membro:
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
$sin[(2n+1)x] – sin[(2n-1)x] = 2cos(2nx)·sin(x)$ ⇔
⇔ $sin[(2n+1)x] = 2cos(2nx)·sin(x) + sin[(2n-1)x]$.
D'altra parte, $2cos(2nx) = 2[cos^2(nx)–sin^2(nx)] = 2[1 – 2sin^2(nx)]$. E perciò:
$sin[(2n+1)x] = 2[1–2sin^(nx)]·sin(x) + sin[(2n-1)x]$ (*)
Mettiamo successivamente al posto di n i numeri 1, 2, 3, ... nella (*) e teniamo conto dei risultati via via acquisiti.
Incominciamo con $n=1$. Allora
$sin(3x) = 2[1 – 2sin^2(x)]·sin(x) + sin(x) = 2sin(x) – 4sin^3(x) + sin(x) = –4sin^3(x) + 3sin(x)$,
Passiamo ora a $n = 2$. [Metteremo in conto il trovato $sin(3x)$ e il fatto che $cos^2(x)= 1– sin^2(x)$].
$sin(5x) =2[1 – 2sin^2(2x)]·sin(x) + sin(3x) = 2sin(x) – 4[2sin(x)cos(x)]^2 +[-4sin^3(x) + 3sin(x)] =$
$= 2sin(x) – 16{sin^2(x)·[1-sin^2(x)]·sin(x) – 4sin^3(x) + 3sin(x) =$
$= 16sin^5(x) – 20sin^3(x)+5sin(x)$.
Analogamente si calcola $sin(7x)$ mettendo nella (*) $n = 3$ e sfruttando la conoscenza di $sin(3x)$ e $sin(5x)$.

Si potrebbe dimostrare che nello sviluppo di $sin[(2n+1)x]$ il coefficiente del termine di grado 1 [in $sin(x)$] è sempre $c_1=2n+1$ e quello del termine di grado massimo $2n+1$ è senpre $c_(2n+1)=(-1)^n·2^(2n)$.

Un altro modo di procedere consiste nello scrivere la generica uguaglianza
$sin[(2n+1)x] = c_(2n+1)·sin^(2n+1)(x) + c_(2n-1)·sin^(2n-1)x] + ... +c_3·sin^3(x) + c_1·sin(x)$
(dove per ora i coefficenti sono incogniti) in $n+1$ valori notevoli di $x$ tali da ottenere un sistema lineare di $n+1$ equazioni nelle $n+1$ incognite $c_(2n+1), c_(2n-1), ..., c_3, c_1$.
In particolare, per lo sviluppo di $sin(5x)$ – cioè per $n = 2$ – possiamo scrivere:
a) Per $x = 90°$ è $sin(x) =1$ e $sin(5x) = 1$ e quindi:
$sin(5·90°) =1 = c_5·1^5 + c_3·1^3 + c_1·1$ ⇔ $c_5 + c_3 + c_1 = 1$ .
b) Per $x = 30°$ è $sin(x) =1/2$ e $sin(5x) = 1/2$ e quindi:
$sin(5·30°) =1/2 = c_5·1/32 + c_3·1/8 + c_1·1/2$ ⇔ $c_5 + 4·c_3 + 16c_1 = 16$.
c) Per $x = 45°$ è $sin(x) =sqrt2/2$ e $sin(5x) = -sqrt2/2$ e quindi:
$sin(5·45°) =-sqrt2/2 = c_5·4sqrt2/32 + c_3·2sqrt2/8 + c_1·sqrt2/2$ ⇔ $c_5 + 2·c_3 + 4c_1 = -4$.
Insieme:
$c_5 + c_3 + c_1 = 1$;
$c_5 + 4·c_3 + 16c_1 = 16$;
$c_5 + 2·c_3 + 4c_1 = -4$.
Risolvendo si trova appunto: $c_5 = 16$; $c_3=-20$; $c_1=5$. In definitiva:
$sin(5x) = 16sin^5(x) – 20sin^3(x)+5sin(x)$.

Veniamo ora all'equazione $sin(5x) = 16sin^5(x)$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Tenendo conto del fatto che:
$sin(5x) = 16sin^5(x) – 20sin^3(x)+5sin(x)$ per ogni $x$, l'equazione
$sin(5x) = 16sin^5(x)$
equivale a
$–20sin^3(x) + 5sin(x) = 0$ ⇔ $sin^3(x) = 1/4sin(x)$
ossia
$sin(x) = 0$ ⇔ $x =$ <ogni multiplo di 180°>
oppure
$sin2^(x) = 1/4$ ⇔ $sin(x) = ±1/2$ ⇔ <ogni multiplo di 180°> ± 30°.

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[Erasmus_First]

@ dan95
A te suppongo che piaccia quest'altro metodo ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$sin^(5)(x) = ((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^5 = ((e^(5ix)-e^(-5ix))-5(e^(3ix)-e^(-3ix))+10(e^(ix)-e^(-ix)))/(32i)$ ⇔
⇔ $16sin^5(x)=sin(5x) – 5sin(3x) + 10sin(x)$;
$sin^(3)(x) = ((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^3 = ((e^(3ix)-e^(-3ix))-3(e^(ix)-e^(-ix)))/(-8i)$ ⇔
⇔ $-20sin^3(x)= 5sin(3x) - 15sin(x)$;
$5sin(x) = 5sin(x)$. Sommando membro a membro:
$16sin^5(x) – 20sin^3(x) + 5sin(x) = sin(5x) + (5 -5)sin(3x) + (10 - 15 + 5)sin(x) = sin(5x)$

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[dan95]

Eh già