Problema di Brocard -1

Messaggioda dan95 » 21/09/2018, 09:24

Trovare tutte le soluzioni intere $(m,n)$ di

$m^2=n!$
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio

"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.

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Re: Problema di Brocard -1

Messaggioda giammaria » 21/09/2018, 21:23

Con l'ipotesi di Bertrand (poi dimostrata da Chebyshev) il problema è semplicissimo, ma non mi sembrano argomenti da secondaria. Sei sicuro che esista una risposta a livello pre-universitario?
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Problema di Brocard -1

Messaggioda dan95 » 21/09/2018, 21:35

La mia soluzione usa il postulato di Bertrand. Problemi come questo preferisco pubblicarli qui vista l'affluenza di belle menti che c'è in questa sezione, i concetti da sapere non vanno troppo oltre la secondaria. Se pubblico un esercizio sugli spazi $L^p$ allora qualcosa comincia a non quadrare...
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Re: Problema di Brocard -1

Messaggioda dan95 » 23/09/2018, 09:23

Soluzione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Lemma (postulato di Bertrand) Sia $n$ un numero naturale, esiste almeno un numero primo $p$ tale che $n<p<2n$.

Sia $(m,n)$ una coppia di interi entrambi maggiori di 1 che soddisfa l'equazione, sia $p$ il più grande numero primo minore di $n$ allora

$p! (p+1)(p+2) \cdots (p+n-p)=n!$

Poiché $n!$ è un quadrato perfetto se $p|n!$ allora $p^2|n!$, in particolare abbiamo che

$p| (p+1)(p+2) \cdots (p+n-p)$

Quindi $n \geq 2p$, d'altra parte per il postulato di Bertrand esiste almeno un numero primo $p<q<2p$, assurdo.
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