Unicità...
Chiamiamo
scomposizione additiva di Fibonacci la somma di termini di Fibonacci con la proprietà richiesta.
Sia $m$ il più piccolo intero tale che la scomposizione additiva di Fibonacci non sia unica, cioè
$m=\sum_{i=1}^{k} F_{n_i}^{(1)}=\sum_{i=1}^{h} F_{n_i}^{(2)}$
Ora $F_{n_1}^{(1)} > F_{n_1}^{(2)} $ se fossero uguali allora si andrebbe contro la minimalità di $m$. Quindi l'intero $F_{n_1}^{(1)} -F_{n_1}^{(2)}$ è minore di $m$ e in quanto tale ammette un'unica scomposizione additiva di Fibonacci
$F_{n_1}^{(1)} -F_{n_1}^{(2)}=\sum_{i=1}^{r} F_{m_i}$
In particolare si ha
$m'=\sum_{i=2}^{k} F_{n_i}^{(1)}+\sum_{i=1}^{r} F_{m_i}=\sum_{i=2}^{h} F_{n_i}^{(2)}$
Notiamo che $m'$ ammette due scomposizioni additive di Fibonacci differenti
1, d'altra parte $m>\sum_{i=2}^{h} F_{n_i}^{(2)}=m'$, assurdo.