Binomiale e numeri primi

[dan95]

Sia $p$ un numero primo. Dimostrare che

$((2p-1),(p-1)) \equiv 1 \mod p$

[.Ruben.]

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$(2p-1)! = p! \prod_{n = p+1}^{2p-1} n $
Quindi $((2p-1)!)/(p!(p-1)!) = (\prod_{n = p+1}^{2p-1} n)/((p-1)!)$
$\prod_{n = p+1}^{2p-1} n mod p = \prod_{n = p+1}^{2p-1} (n-p) mod p = \prod_{n = 1}^{p-1} n mod p = (p-1)! mod p$, da cui la tesi.

[dan95]

Ruben da quanto tempo!

Ok ma metti in spoiler

[Erasmus_First]

Forse c'è un qualche teorema di teoria degli interi da sfruttare.
Ma penso di no altrimenti questo quiz non andrebbe bene in questa sezione.
Comunque, la mia soluzione è "spaparacchiata" in modo da risultare didatticamente valida anche per studentelli che appena sanno cos'è il coefficiente binomiale
<n sopra k> = $(n!)/(k!(n-k)!)$
(che io preferisco indicare con $C(n, k)$ [ntendendo con ciò il numero delle combinazioni distinte che si possono fare scegliendo k elementi da un insieme di n elementi]).

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P.S.
Solo ora mi accorgo d'essere stato preceduto da .Ruben. .