Un'equazione trigonometrica

[Zero87]

Sì, adesso non so se viene data come proprietà, ma semplicemente per $0<x<1$, $x^n > x^(n+1)$ per $n$ naturale.
Da una parte rilancerei dicendo di dimostrarla ma ne ho in mente una dimostrazione veramente banale quindi lo do per assodato.

[axpgn]

Anch'io ne ho in mente una semplice, sicuramente è la stessa

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Beh, se è vero che $0<x<1$, allora:

- da $0<x$ segue che $x^n=\overbrace{x\cdot x\cdot...\cdot x}^{n\mbox{ volte}}>0$ (prodotto di quantità positive è positiva);

- da $0<x<1$ segue che $0<x^{n+1}<x^{n}$, basta moltiplicare i 3 membri della prima doppia disuguaglianza per la quantità positiva $x^n$ che non inverte il verso delle disuguaglianze (secondo principio di equivalenza per le disuguaglianze, o semplicemente perché $\mathbb{R}$ è un insieme totalmente ordinato se siete di bocca buona )

[Zero87]

basta moltiplicare i 3 membri

Credo sia dividere, non moltiplicare.
Comunque, questa è carina, ma io ne avevo una banale che a questo punto inserisco in spoiler.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Supposto, $0<x<1$, vedo se ha soluzione la disequazione:
$x^n > x^(n+1)$
ovvero
$x^n - x^(n+1)>0$
dunque
$x^n (1-x)>0$
da cui, per $0<x<1$ entrambi i termini sono strettamente positivi e la disequazione è valida.

[Mathita]

Ho modificato il messaggio (non avevo specificato cosa moltiplicare per $x^n$). La tua è molto userfriendly, io ho inutilmente complicato le cose.

[axpgn]

Beh, allora metto anche la mia ... ... che poi è simile a quella di Mathita ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per semplicità mi limito al primo quadrante (tanto si espande facilmente agli altri)
Abbiamo $0<=sin(x)<=1$, moltiplichiamo tutto per $sin(x)$ ed otteniamo $0<=(sin(x))^2<=sin(x)$
Poi per induzione si dimostra che si può proseguire all'infinito

Cordialmente, Alex

[Zero87]

Ho modificato il messaggio (non avevo specificato cosa moltiplicare per $x^n$). La tua è molto userfriendly, io ho inutilmente complicato le cose.

Non dire così, quella tua e quella di @axpgn le trovo un po' più eleganti e meno "manuali" della mia.