Un pentagono ...

[bub]

Questa dovrebbe essere la formula esplicita (se non ho fatto errori ) per calcolare il raggio di un qualsiasi poligono inscritto in un cerchio di 5 lati $AB, BC , CD, DE, EA$ dove però sono soddisfatte le condizioni $AB = BC = CD = a$ e $DE = EA = b$

$r = sqrt((2·a^4 + a^2·b·(sqrt(4·a^2 + b^2) + b))/(b·(sqrt(4·a^2 + b^2) - b) + 6·a^2))$

Se si pone $a = 2*u, b = 3*u$ si ottiene il raggio del problema specifico.
Solo una curiosità.

[Erasmus_First]

@Erasmus:
[...] Mi pare che la tua risposta a bub sia corretta solo quando il centro della circonferenza circoscritta è interno al poligono: quando è esterno occorre una piccola modifica.

Hai ragione!
[All'eventualità che, messo da parte il lato più lungo, la spezzata degli altri $n-1$ lati invada meno di mezza circonferenza non avevo pensato. .

Mi è piaciuta la "trovata" della diagonale lunga 4 u – lato di un triangolo di tati 2 u, 3 u e 4 u – che riduce drasticamene il calcolo (e la grandezza degli interi coinvolti).
[Col mio metodo si passa da polinomi [pari] di ottavo grado con coefficienti fino a 2520. ]
_____

[bub]

@Erasmus:
[...] Mi pare che la tua risposta a bub sia corretta solo quando il centro della circonferenza circoscritta è interno al poligono: quando è esterno occorre una piccola modifica.

Hai ragione!
[All'eventualità che, messo da parte il lato più lungo, la spezzata degli altri $n-1$ lati invada meno di mezza circonferenza non avevo pensato. .

Mi è piaciuta la "trovata" della diagonale lunga 4 u – lato di un triangolo di tati 2 u, 3 u e 4 u – che riduce drasticamene il calcolo (e la grandezza degli interi coinvolti).
[Col mio metodo si passa da polinomi [pari] di ottavo grado con coefficienti fino a 2520. ]
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Anche il tuo metodo però era divertente. Sei partito da una generalizzazione, se riusciva magari intercettavi la soluzione anche di tanti altri problemi simili.

[Erasmus_First]

La lunghezza della diagonale che riasulta lunga 4 u (ed è pure la lunghezza della base maggiore del trapezio isoscele che si ottiene mettendo un lato corto tra i due lati lunghi) si può trovare senza trigonometria nl modo seguente:
Detta x la lunghezza [incognita] della base maggiore (del trapezio isoscele), la semidifferenza delle basi di tale trapezio è
(x – 3)/2
ed il fatto che le diagonali del trapezio siano pure lunghe x rende valida la seguente uguaglianza:
$x^2 = [2^2 – ((x-3)/2)^2] + (x - (x-3)/2)^$ ⇔ $x^2 = 4 + x^2 - x(x–3$ ⇔ $x^2 – 3x – 4 = 0$ ⇔
⇔ $x=(3±sqrt(9+4·4))/2$ ⇔ $(x=4) ∨(x=–1)$. [E' da ricusare $x= – 1 < 0$.]
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