Radici di un polinomio

[anto_zoolander]

Mi è stato proposto di dimostrare o confutare la seguente cosa

sia $P(x)=x^n-x^2+(a-b)x+ab$ un polinomio al variare di $a,b>0$ e tali che $a+1<b$ e $n>2$
Dimostrare o confutare che

se $existsx_0 inRR:P(x_0)=0$ allora $x_0 inRRsetminusQQ$

Non so se sia una specie di easter egg, ci ho provato per un po’ ma con scarsissimi risultati e mi è pure salito il mal di testa se avete idee, sono ben accette.

[spugna]

$a$ e $b$ sono interi?

[anto_zoolander]

Ciao spugna.

No sono due reali

[spugna]

Allora mi sembra molto falso: prendi ad esempio $a=9/10$, $b=9$ e $x=1$

[anto_zoolander]

Hai ragione, avevo dimenticato l’ultima ipotesi. Deve essere anche $a>1$
Perché avevo provato anche io ponendo $x=1$ e cercando soluzioni per $a,b$

[spugna]

Allora $a=3/2$, $b=14$, $n=3$ e $x=2$... resta il fatto che con $a$ e $b$ reali c'è troppa libertà: se prendi $n$ dispari c'è sempre una soluzione reale, e se perturbi leggermente $a$ e $b$ questa soluzione varia con continuità, quindi a meno che non rimanga ferma (ma è un caso raro) deve per forza passare per un punto razionale.

[anto_zoolander]

Mi sembra una motivazione esaustiva.
Le origini del problema sono abbastanza divertenti, in quanto un ragazzo pensava di aver dimostrato questo risultato usando fatti inutilizzati da almeno 300 anni e li per li l’abbiamo presa sul ridere inizialmente