Integrale di domenica?!

[dan95]

Sia $f(x)$ tale che $x=f(x)e^(f(x))$. Calcolare

$\int_{0}^{e} f(x)dx$

[orsoulx]

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$e-1$

Nei giorni festivi devi modificare le abitudini alimentari?
Ciao

[dan95]

Eh già

[.Ruben.]

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$x=f(x)e^{f(x)}$ implica $f^(-1)(x)=xe^x, x = f(xe^x)$
Sostituisco nell'integrale $x = ve^v$ e ottengo $\int_{f(0)}^{f(e)} v(v+1)e^v dv.$
L'integrale si valuta agevolmente una volta calcolati (per tentativi) $f(0)=0, f(e)=1$

[dan95]

Ok Ruben

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Ma il calcolo di $f(e)$ e $f(0)$ non serve farlo a tentativi basta usare il fatto che $x=f(xe^x)$

[.Ruben.]

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Intendevo quello; ho scritto per tentativi per sottolineare che non abbiamo una formula diretta.

[giammaria]

Io non ho neppure nominato la funzione inversa, anche se la mia soluzione è sostanzialmente quella di .Ruben.

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Posto $y=f(x)$ ho
$x=y e^y->dx=(e^y+ye^y)dy=e^y(y+1)dy$
Le equazioni relative agli estremi di integrazione si risolvono anche solo ad occhio, ma volendo si può usare il metodo grafico; si trova che
- ad $x=0$ corrisponde $y=0$:
- ad $x=e$ corrisponde $y=1$
Quindi
$int_0^e y dx=int_0^1 e^y (y^2+y)dy$
e si arriva al risultato con due integrazioni per parti.

[Mathita]

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Costruiamo un rettangolo di vertici $O(0,0), B(e,0), C(e, 1), D(0,1)$ in un sistema cartesiano $Oxy$. Tracciamo una qualsiasi funzione continua e strettamente crescente che congiunge i punti O e C: essa rappresenta la nostra funzione integranda $f(x)$. Per l'interpretazione geometrica dell'integrale di Riemann, $\int_{0}^{e}f(x)dx$ è l'area sottesa al grafico di $f(x)$ e può essere calcolata come differenza tra l'area del rettangolo OBCD e l'area della porzione di piano limitata dall'asse delle ordinate, dal grafico di $f(x)$ e le rette $y=0$ e $y=1$, che sempre per l'interpretazione geometrica di integrale coincide con $\int_{0}^{1}f^{-1}(y)dy=\int_{0}^{1}ye^{y}dy=1$.

Possiamo concludere quindi che:

$\int_{0}^{e}f(x)dx=\mbox{Area}(OBCD)-\int_{0}^{1}ye^{y}dy=e-1$

[.Ruben.]

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@Mathita
Non ho ben capito
Ma se un estremo era 2e che facevi?

[giammaria]

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Se un estremo è $2e$ si può dare solo una soluzione approssimata. Si disegna la curva $z=g(y)=ye^y$ (uso $z$ per chiarire bene che la considero una variabile dipendente da $y$; in realtà sarebbe $x=f^(-1)(y)$) e la si interseca con la $z=2e$, trovando la $y$ dell'intersezione. Questo valore può poi essere migliorato con uno dei metodi appositi.