Successione di naturali

[dan95]

Siano $a,b$ due numeri irrazionali positivi tali che $1/a+1/b=1$, consideriamo i due insiemi

$A={[an]}_{n \in \mathbb{N}}$

$B={[bn]}_{n \in \mathbb{N}}$

dove $[x]$ denota la parte intera (inferiore) di $x$. Mostrare che $A uu B=\mathbb{N}$ e $A nn B={0}$

[axpgn]

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Prendiamo un intero $s$ e definiamo $t(s)$ come il numero degli elementi delle due successioni che siano minori di $s$.

Allora $t(s)=\lfloor s/a \rfloor + \lfloor s/b \rfloor$

Per definizione di parte intera, abbiamo $s/a-1<\lfloor s/a \rfloor <s/a$ e $s/b-1<\lfloor s/b \rfloor <s/b$.

Sommiamo membro a membro ed otteniamo $s/a+s/b-2 < t(s) < s/a+s/b$ da cui

$s(1/a+1/b)-2 < t(s) < s(1/a+1/b)$ e quindi $s-2<t(s)<s$ per cui si conclude che è $t(s)=s-1$.


Se i due insiemi (composti da interi) non fossero disgiunti, gli elementi dovrebbero essere meno …

E d'altra parte se non fosse $1/a+1/b=1$ non avremmo quella disuguaglianza … IMHO

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Scavando fra i ricordi:

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http://www.rudimathematici.com/archivio/138.pdf
da pag, 24

Ciao

[axpgn]

Ehi dan, ma è giusta o no?
Ci hai abbandonato …

Cordialmente, Alex