Disuguaglianza con valori assoluti

[axpgn]

Quante sono le soluzioni in interi di questa disuguaglianza $|x|+|y|<100$ ?

Nota: Si considerano differenti le soluzioni $(x,y)$ e $(y,x)$ quando $x!=y$

[Mathita]

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Se non ho contato male sono 181 19801, ma forse era meglio contare le pecore a quest'ora.

[orsoulx]

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Non intravedo approcci che evitino di contare (o far contare) i punti in questione. Riesco solamente a ridurre le somme occorrenti. Sicuramente il risultato deve essere vicino a 31400 con un'approssimazione buona: credo minore dell'un per mille.

Ciao

[Mathita]

@axpgn

Sarei curioso di sapere qual è il risultato corretto a questo punto. In spoiler, l'idea che ho avuto

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Il numero di coppie di interi che soddisfano la disequazione $|x|+|y|<100$ dovrebbe essere il centesimo numero quadrato centrato $C_{100}=100^2+99^2=19801$

[orsoulx]

Ebbene Sì! Ho preso una bella cantonata. Cercavo di contare i punti interni al cerchio di raggio 100.
Ciao

[Mathita]

@orsoulx

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Vabbé, tranquillo capita! Pensa che la mia prima risposta al quesito è stata 181 perché il mio cervello si ostinava a leggere $|x|+|y|<10$.

@axpgn

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Penso che si possa dimostrare per induzione che fissato $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, il numero di coppie di interi che soddisfano $|x|+|y|<n$ sia pari a $C_n=n^2+(n-1)^2$.

[orsoulx]

@Mathita:
Una dimostrazione diretta si può fare usando il teorema di Pick:

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l'area vale $ 2 n^2 $ i punti sul perimetro $ 4 n $, quindi i punti interni $ 2 n^2-2n +1 $

Ciao

[Mathita]

@orsoulx, grazie! Mi era balenato in testa, però non riuscivo a ricordare il nome del teorema.

[axpgn]

Questo è il mio approccio …

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Chiamiamo $n_s$ il numero delle soluzioni intere dell'uguaglianza $|x|+|y|=s$

Allora il numero complessivo delle soluzioni della nostra disuguaglianza sarà $n=n_0+n_1+...+n_99$

$n_0=1$ in quanto l'unica soluzione è $x=y=0$.

Invece per $s>=1$ avremo $n_s=4s$ in quanto ogni $x$ potrà assumere i valori da $-s$ a $+s$ cioè $2s+1$ valori e per ciascuno di essi avremo due valori di $y$ tranne negli estremi dove $y=0$.

Quindi $n_s=2(2s+1)-2=4s$

In conclusione avremo $n=1+4(1+2+...+99)=1+4*(99*100)/2=1+2*99*100=19801$

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Bel problema e bella soluzione.