Triangoli radicali

[axpgn]

Se $a, b, c$ sono le lunghezze dei lati di un triangolo allora anche $sqrt(a), sqrt(b), sqrt(c)$ formano un triangolo.


Cordialmente, Alex

[orsoulx]

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$ sqrt a + sqrt b -sqrt c=((sqrt a + sqrt b -sqrt c)(sqrt a + sqrt b +sqrt c))/(sqrt a + sqrt b +sqrt c)=(a+b+2 sqrt(ab)-c)/(sqrt a + sqrt b +sqrt c)>(a+b-c)/(sqrt a + sqrt b +sqrt c)>0$
con permutazioni a piacere.

Ciao

[axpgn]

Ok

Mi rimane un piccolo dubbio che puoi dissipare …

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È possibile formare un triangolo se ogni lato è minore della somma degli altri due e contemporaneamente è maggiore della differenza assoluta degli altri due.

Ora, quello che volevo capire, è se con la tua dimostrazione hai voluto dimostrare entrambe le cose contemporaneamente oppure no.
Voglio dire che $a+b-c> … >0$ è una mentre l'altra contemporanea sarebbe $a-b<c -> b+c-a> … > 0$ che non viene dimostrata dalla stessa dimostrazione ma da una delle permutazioni.
Lo so che, alla fin della fiera, non cambia niente (tutto viene dimostrato) e lo so che è una questione di lana caprina ma talvolta capita che uno è convinto con una relazione di dimostrare tutto quello che c'è da dimostrare ed invece cade su sottigliezze tipo queste (ovviamente "quell'uno" sarei io ).
Non so se sono riuscito a spiegarmi

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

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È possibile formare un triangolo se ogni lato è minore della somma degli altri due e contemporaneamente è maggiore della differenza assoluta degli altri due.

La formulazione di quest'affermazione mi pare un po' fuorviante. Io direi:
"È possibile formare un triangolo se ogni lato è minore della somma degli altri due".
Oppure:
"È possibile formare un triangolo se ogni lato è maggiore della differenza assoluta degli altri due".
Oppure:
"È possibile formare un triangolo se ogni lato è minore del semiperimetro (ipotetico)".
Oppure.....
Queste sono formulazioni di condizioni sufficienti per l'esistenza di un triangolo avente lati della misura assegnata.
Unirne due con un "contemporaneamente" induce a ritenere un'indipendenza fra le triplette quando, invece, l'una implica l'altra.
Osservando poi che quando non si può costruire il triangolo una sola delle tre disuguaglianze risulta falsa, si può anche farne il prodotto $ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0 $ che corrisponde ad affermare:
"È possibile formare un triangolo se il radicando della formula di Erone risulta positivo"

Ciao

[axpgn]

Grazie

Cordialmente, Alex