Un gioco strano

Messaggioda tortar » 19/11/2018, 14:13

Salve a tutti, avrei un problema da proporre a cui ancora non ho trovato risposta:
Con un vostro amico partecipate a uno strano gioco: entrambi partite senza gettoni e tirate una moneta, una volta per uno. Se fate testa ricevete un gettone, se fate croce due. Vince chi arriva prima a cento gettoni, qual è la probabilità di vittoria?
Edit: entrambi devono fare lo stesso numero di lanci ,quindi si puó anche pareggiare

Ho provato a figurarmi le combinazioni vincenti per un solo giocatore come $\sum_{k=1}^50 k$ in quanto se si fanno 50 lanci per vincere(ovvero tutte croci) allora l'altro perde se fa un numero di croci minori di 50,che coincide con 50 combinazioni possibili, se si fanno 51 lanci allora vuol dire che l'altro deve fare un numero di croci minori di 49,e quindi 49 combinazioni possibili,e cosi via...
Però non riesco a calcolare le combinazioni di pareggio in quanto ho problemi con i numeri di lanci compresi tra 51 e 99.
Ho proprio bisogno di un aiuto :?: :D
Ultima modifica di tortar il 19/11/2018, 16:17, modificato 1 volta in totale.
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Re: Un gioco strano

Messaggioda axpgn » 19/11/2018, 15:38

Premesso che sono tutt'altro che un esperto in materia, non mi sembra molto sensato calcolare la probabilità di vittoria …
Mi spiego: non c'è differenza tra i due giocatori quindi la probabilità di arrivare a cento gettoni è la stessa per entrambi e di conseguenza chi parte per primo è più probabile che arrivi per primo.
Diverso sarebbe il caso in cui si volesse calcolare quanti lanci mediamente vanno fatti per arrivare a cento … IMHO

Cordialmente, Alex
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Re: Un gioco strano

Messaggioda tortar » 19/11/2018, 15:45

Sarebbe sensato secondo te calcolarsi le combinazioni che portano alla vittoria per uno solo e dividerla per se stessa moltiplicata per due(dato che il gioco alla pari)+ le combinazi9ni di pareggio?
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Re: Un gioco strano

Messaggioda tortar » 19/11/2018, 15:49

É sensato perché il gioco é alla pari nel senso che é come se i due lanciassero contemporaneamente, non c'é sicuramente nessun giocatore privilegiato però di per sè ognuno ha una probabilità minore del 50% in quanto ci sono modi di arrivare al pareggio
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Re: Un gioco strano

Messaggioda tortar » 19/11/2018, 15:57

Inoltre poco fa ho visto scrivendo un programma che mi desse la probabilità di vittoria di uno dei due giocatori che essa é intorno al 45% ma facendolo con il mio metodo mi viene intorno al 48% quindi sicuramente é sbagliato :D
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Re: Un gioco strano

Messaggioda axpgn » 20/11/2018, 13:26

Non ho detto che il gioco non sia sensato (è come giocare a testa o croce) ma che non lo è cercare di stabilire la probabilità di vittoria di uno piuttosto che l'altro.
Diverso è il caso che hai presentato ora cioè trovare la probabilità che la partita finisca patta invece che vinca uno dei due.

Da NON esperto io farei così …
Si può arrivare a cento in $51$ modi: $50$ croci, $49$ croci e due teste, $48$ croci e quattro teste, …, una croce e $98$ teste, $100$ teste.
Un giocatore arriva a cento con cinquanta croci, l'altro con gli stessi lanci può conquistare un punteggio che va da un minimo di $50$ ad un massimo di $100$ cioè un caso favorevole (il pareggio) su $51$ casi possibili.
Un giocatore arriva a cento con $49$ croci e due teste, l'altro con gli stessi lanci può conquistare un punteggio che va da un minimo di $51$ ad un massimo di $102$ ma dato che se arrivasse a cento il gioco finirebbe abbiamo solo $50$ casi possibili di cui un solo pareggio.
E così via … $1/49$, $1/48$, …, $1/2$ e $1/1$
Somma tutti i casi favorevoli e tutti i casi possibili e trovi la probabilità cercata (credo che sia $51/1326$ … forse :D )

Cordialmente, Alex
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Re: Un gioco strano

Messaggioda axpgn » 20/11/2018, 16:11

Come giustamente suggeritomi da tommik (che ringrazio :D ) i modi per arrivare a cento sono di più in quanto se si arriva a $99$ e poi esce croce si finisce a $101$, quindi ... ė più complicato :-D

Cordialmente, Alex
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Re: Un gioco strano

Messaggioda orsoulx » 21/11/2018, 10:04

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si possono ottenere $100$ gettoni in $ n $ lanci se, con un lancio in meno, si guadagnano $99$ gettoni, oppure $98$ e viene croce nel lancio successivo. Traducendo in formule, indicando con $ p_n $ la probabilità di raggiungere l'obiettivo in $ n $ lanci è:
$ p_n=[((n-1),(100-n))+1/2((n-1),(100-n-1))]1/2^(n-1) $ con $ n $ opportuno.
Con poche manipolazioni algebriche si può scrivere: $p_n=((n),(100-n)) 1/2^n(3-100/n) $ con $ n \in [50...100]$.
Per ottenere il pareggio nel gioco proposto occorre che i due contendenti accumulino $ 100 $ gettoni nel medesimo numero di lanci; la probabilità di questo evento sarà quindi $ \sum_{n=50}^{100} p_n^2 =10.34...%$
Una curiosità: se i gettoni da guadagnare fossero $ 9 $ la probabilità del pareggio sarebbe $ 33.74..%$, la miglior equiripartizione dei tre casi possibili.
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
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Re: Un gioco strano

Messaggioda axpgn » 21/11/2018, 14:07

@orsoulx
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Non entro nel merito delle tue formule (anche perché non c'ho capito niente :-D ) però simulando al pc il giochino mi viene una probabilità media di pareggio tra il $5%$ e il $6%$ per i $100$ gettoni mentre per i $9$ gettoni la probabilità media di pareggiare è poco oltre il $20%$.
Ovviamente non ho nessuna pretesa di verità però mi fa pensare … cosa ne dici?


Cordialmente, Alex
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Re: Un gioco strano

Messaggioda orsoulx » 21/11/2018, 15:37

@Alex,
sono abbastanza tranquillo delle formule. Per il computo numerico ho usato il foglio di calcolo di GeoGebra che conferma, con diversi valori del limite da raggiungere, $ \sum p_n=1$, come deve essere. Non so che dirti, prova a postare (se vuoi in PM) il codice della simulazione.
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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