Circoscrizioni

[axpgn]

Si comincia con un cerchio di raggio unitario.
Circoscrivetelo con un triangolo equilatero.
Che a sua volta è circoscritto da un cerchio.
Il quale è circoscritto da un quadrato.
Circoscritto da un cerchio, circoscritto da un esagono regolare, circoscritto da un cerchio, circoscritto da un ettagono regolare, circoscritto da un cerchio, … insomma, avete capito come funziona la faccenda

A cosa tende il raggio dell'ennesimo cerchio?
E se invece "inscriviamo" ?

Cordialmente, Alex

[Zero87]

Sono una capra in geometria - e infatti non credo di saper rispondere - ma da come dici manca un pezzo

Si comincia con un cerchio di raggio unitario.
Circoscrivetelo con un triangolo equilatero.
Che a sua volta è circoscritto da un cerchio.
Il quale è circoscritto da un quadrato.
Circoscritto da un cerchio, (*) circoscritto da un esagono regolare, circoscritto da un cerchio, circoscritto da un ettagono regolare, circoscritto da un cerchio, … insomma, avete capito come funziona la faccenda

(*) ... circoscritto da un pentagono regolare, circoscritto da un cerchio, ...

Che ne dici?

Comunque un bellissimo problema "da visualizzare"; veramente, molto artistico.

[axpgn]

... e sì che l'ho ricontrollato più volte ...

Thank you

[Zero87]

#-o ... e sì che l'ho ricontrollato più volte ...

Thank you

Non fa niente, non fa niente, felice di essere d'aiuto. Comunque, anche se sono ignorante in geometria ci penso.

[axpgn]

Ok

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Comunque io l'ho fatta più semplice (inteso come meno formale)

$R_n=prod_(k=3)^n sec(pi/k)$ il cui limite all'infinito è $R_(infty)~=8,7$ mentre "l'inverso" è $r_(infty)~=1/8.7$

La "formula" l'ho trovata facilmente mi rimane però la curiosità di sapere come si trova il limite (dato che non mi intendo di serie, figuriamoci di produttorie ... anche se è peraltro vero che usando i logaritmi trasformi una nell'altra … ho pure verificato che vengono gli stessi numeri in entrambi i casi ).

A parte Wolfram Alpha e simili, esiste qualche metodo "analitico"?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Curiosità: se a Wolfram si dà in pasto quella formula con l'infinito come limite superiore la calcola "abbastanza" velocemente mentre se si usa un intero abbastanza grande diventa sempre più lento e dopo i cento milioni non ce la fa più … aggratis (forse pagando ... )

Cordialmente, Alex

[axpgn]

P.S.: TeM, tu che sei fantastico con i grafici riusciresti a fare un disegnino? Solo i primi sette o otto …

Grazie, Alex

[axpgn]

P.P.S.: Anzi, quello che effettivamente mi piacerebbe conoscere è:

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Come si determina che è limitata?

[axpgn]

@TeM
Bene, ho imparato tutto sulle serie (ed anche altre cose … )

Che gran lavoro ... si vede benissimo che ti piace tanto, tanto …

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Diciamo che fino a "purtroppo non è sufficiente" son riuscito a farcela da solo , poi hai usato Taylor due volte (credo): il passaggio del coseno mi è chiaro, meno quello del logaritmo …
Quindi "essendo noto che la serie armonica generalizzata" … a te è noto, a me no sì, comunque è chiaro anche questo passaggio ...
Poi ... la maggiorazione integrale credo di averla capita (gli integrali che conosco sono alla fine delle "sommatorie") quindi anche il resto.
Ho dato un'occhiata anche al link e sebbene non abbia approfondito più di tanto, penso di aver capito che usa metodi per stimare il "resto" che non calcola … interessante

Bei disegnini tutti colorati (il codice lo si può usare anche sul sito "free" ?)

Ti ringrazio per l'impegno ed il lavoro profuso e penso che sia interessante e utile anche per altri ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Ottimo TeM
Pensando a come proporre il problema in una scuola superiore ho provato ad usare GeoGebra.

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In questa immagine i poligoni sono disposti con il lato più a destra parallelo all'asse delle ordinate e simmetrico rispetto all'asse delle ascisse.

In quest'altra ciascun poligono ha, invece, un lato con il punto medio coincidente con un vertice del poligono precedente. Per non appesantire il disegno sono tracciate solo alcune circonferenze.
I puntini neri esterni ai poligoni sono vertici di poligoni successivi a quelli riportati.
Il punto di maggior ascissa nella prima figura (poligono di 780 lati) ha coordinate circa $ (8.66, 0.04) $.
Mentre il segmento verde della seconda ha lunghezza $8.7033.. $ ed ha per estremi il centro comune delle circonferenze e l'intersezione delle due semirette passanti per gli ultimi quattro (due per ciascuna) punti calcolati che sono complessivamente 180.
Anche se non si dimostra alcunché mi pare sufficiente per mostrare risultati interessanti a chi non ha ancora gli strumenti necessari per ottenerli analiticamente.

Ciao

[axpgn]

Bellissimo lavoro anche il tuo