Problema sns matematica

[marco.ve]

Ciao, avrei dei dubbi sul problema qui sotto, qualcuno può aiutarmi?


(Problema n.6 matematica https://www.sns.it/sites/default/files/ ... 201718.pdf)

Siano $0<r<1$, $R=\{(x,y): r^2 \le x^2+y^2 \le 1\}$, $A = (-1,0)$ e $B = (1,0)$.
Si determini il numero minimo di segmenti che deve avere una spezzata contenuta in R che collega A e B al variare di r.

A me risulta che tale minimo sia $l\ge2$ se $cos(\pi/{2*(l-1)})< r \le cos(\pi/{2l})$, però ho dei problemi a giustificarlo 'bene' (quindi magari è anche sbagliato).

Sicuramente $l\ne 1$, perché in tal caso la spezzata sarebbe un segmento passante per il centro e quindi non starebbe in R.
Se $l=2$ allora si può supporre che i segmenti abbiano i vertici che toccano la circonferenza unitaria e siano simmetrici rispetto all'asse y, altrimenti li si può deformare senza farli uscire da R fino a quando soddisfano ciò (con un disegno mi sembra ovvio, ma come giustificarlo?), quindi $0<r<= 1/\sqrt(2)=$raggio della circonferenza inscritta nel quadrato, del quale due lati sono dati dalla spezzata (tale circonferenza è la più piccola centrata nell'origine a toccare la spezzata).

In generale se $l>1$ allora si può supporre che la spezzata sia contenuta nel 'semianello superiore' ($R \cap {y\ge0}$) e con un ragionamento da trovarsi (penso simile a quello del caso $l=2$) si può supporre che i segmenti formino metà di un poligono di $2l$ lati, da cui calcolando il raggio della circonferenza inscritta si trova il risultato sopra.
(lo so è scritto davvero male)

Approccio alternativo: un segmento in R ha lunghezza massima $2\sqrt(1-r^2)$ e dovendo avere la spezzata lunghezza $\ge \pi r$ (semicirconferenza interna) si ha $\pi r \le 2\sqrt(1-r^2) l$.
Se $r> cos(\pi/{2(n-1)})$ si ottiene $l>\frac{\pi/2}{tan(\pi/{2(n-1)})}$, per $n$ grande $tan(\pi/{2(n-1)}) \approx \pi/{2(n-1)}$, da cui $l\ge n$.
Considerando poi che un poligono regolare di $2n$ lati inscritto nella circonferenza unitaria dista dall'origine $cos(\pi/{2n})>=r$ si ottiene $l=n$ se $cos(\pi/{2*(n-1)})< r \le cos(\pi/{2n})$ (per n grande, e quindi non in generale).

[orsoulx]

Fai tante affermazioni, molte delle quali esatte, esposte in maniera confusa, senza un percorso ben individuato.
Rispondendo a poche domande potresti giungere rapidamente ad usa soluzione appropriata.
Da un punto qualsiasi della circonferenza di raggio $ 1 $ qual è, in funzione di $ r $, il punto più lontano (della stessa) che puoi raggiungere con un solo segmento?
Quanto misura l'arco limitato da quei due punti (partenza, arrivo)?
Quanti di questi archi sono necessari, partendo da $ A $, per raggiungere, o superare, $ B $?
Ciao

[marco.ve]

Grazie della risposta, provo a scrivere la soluzione in maniera comprensibile basandomi sulle tue domande.

Un segmento in R ha lunghezza massima $2\sqrt(1-r^2)$ ed è una corda della circonferenza unitaria.
Una tale corda sottende un angolo pari a $2arctan(\sqrt(1-r^2)/r)$, quindi l'arco limitato dagli estremi della corda ha lunghezza $d= 2arctan(\sqrt(1-r^2)/r)$.
Ne segue che dato un punto qualsiasi nella circonferenza unitaria i punti di R più distanti da questo raggiungibili con un segmento si trovano ancora sulla stessa circonferenza a una distanza $2\sqrt(1-r^2)$ e sottendono un arco di lunghezza $d$.
Il numero $n$ di archi che servono per andare da A a B deve quindi soddisfare $n \cdot d >= \pi$ dove $\pi$ è la lnghezza dell'arco (o meglio di ciascuno dei due archi) che collega A con B.
Troviamo ora il minimo di tali $n$.
Si può partizionare $(0,1)= \cup_{k=2}^{\infty}I_k$ con $I_k=(cos(\pi/{2(k-1)}), cos(\pi/{2k})]$; su $I_k$ $d$ ha valore massimo se $r= cos(\pi/{2k})$, perciò dev'essere $n >=\pi/{2arctan(tan(\pi/{2k}))}=k$, ovvero il minimo degli $n$ è $k$.

[gugo82]

“Ad occhio”, il numero minimo di segmenti è:

• $1$, se $r=0$;
  
  
• $2$, se $0<r<= (sqrt(2))/2$;
  
  
• $3$, se $(sqrt(2))/2 < r <=(sqrt(3))/2$;
  
  
• ...
  
  
• $n$, se $cos(pi/(2(n-1))) < r <= cos(pi/(2n))$; ...