Quadretti e segmenti

Messaggioda gugo82 » 20/01/2019, 14:00

Questo me l’hanno proposto ad un corso che sto seguendo.
Mi è parso carino e lo ripropongo qui (anche se credo sia classico).

***

Problema:

Dividiamo il piano cartesiano in quadretti dal lato unitario con lati paralleli agli assi coordinati, in modo che la griglia contenga gli assi.
Diciamo che un dato segmento attraversa un quadratino se e solo se esso passa per un punto interno al quadratino.
Ad esempio, se fissiamo il punto $A=(5,4)$ e consideriamo il segmento $overline(OA)$: esso attraversa esattamente $8$ quadretti.
        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico



1. È possibile dire quanti quadretti attraversa ogni segmento di estremi $O=(0,0)$ ed $P=(x,y)$ (con $x,y in ZZ$)?
Bisogna scartare dei casi: quali?

2. È possibile stabilire quanti quadretti attraversa un segmento di estremi $Q=(a,b)$ e $P=(x,y)$ (con $a,b,x,y in ZZ$)?
Scartare i casi in cui il problema non ha senso.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 20542 di 44916
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Quadretti e segmenti

Messaggioda axpgn » 20/01/2019, 21:54

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mi pare sia simile a questo :D


Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12769 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Quadretti e segmenti

Messaggioda gugo82 » 21/01/2019, 01:14

Sì, ma io voglio una formula: $N(x,y) = ?$. :wink:

Non è difficile da trovare comunque.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 20555 di 44916
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Quadretti e segmenti

Messaggioda axpgn » 21/01/2019, 01:30

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$N=x+y-MCD(x,y)$

Non saprei come altro rappresentarlo :lol:


Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12770 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Quadretti e segmenti

Messaggioda gugo82 » 21/01/2019, 14:37

Ok.

Mi verrebbe la curiosità di dimostrarlo...
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 20566 di 44916
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Quadretti e segmenti

Messaggioda axpgn » 21/01/2019, 15:13

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La dimostrazione che ho postato in quel link non è sufficiente? Va formalizzata, quello è certo ma la sostanza c'e :D

Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12772 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Quadretti e segmenti

Messaggioda Bokonon » 22/01/2019, 10:42

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
gugo82 ha scritto:Mi verrebbe la curiosità di dimostrarlo...

Beh ma alla fine è come gli spostamenti su una scacchiera nxm con $n!=m$
Senza nemmeno guardare al segmento, si considera solo il rettangolo.
A partire da una casa iniziale, per arrivare alla casella opposta si richiedono (n-1) spostamenti orizzontali e (m-1) verticali + la casella iniziale. Quindi in totale (n+m-1)
Solo se la "scacchiera" è nxn allora è permesso spostarsi in diagonale.
Ultima modifica di Bokonon il 22/01/2019, 14:17, modificato 2 volte in totale.
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 624 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Quadretti e segmenti

Messaggioda axpgn » 22/01/2019, 11:19

@Bokonon
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
È vero solo se $m$ e $n$ sono coprimi altrimenti devi tener conto di questo fatto … :wink:


Cordialmente, Alex

P.S.: Please, usa lo spoiler :D
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 12775 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Quadretti e segmenti

Messaggioda Bokonon » 22/01/2019, 14:29

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
axpgn ha scritto:@Bokonon
È vero solo se $m$ e $n$ sono coprimi altrimenti devi tener conto di questo fatto … :wink:

Vero
Avatar utente
Bokonon
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 626 di 5942
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22


Torna a Scervelliamoci un po'

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite