Ipotesi: hai una circonferenza di raggio $r$ qualsiasi; hai un lato $l$ del quadrato posizionato su un diametro del cerchio e il punto medio di questo lato coincide col centro della circonferenza; gli estremi del lato del quadrato opposto a quello che sta sul diametro stanno sulla circonferenza.
Ci siamo fino qui? Ok
Chiamiamo $O$ il centro della circonferenza, $A$ e $B$ i vertici del quadrato che stanno sulla circonferenza e $M$ il punto medio di $AB$
Congiungo $O$ con $A$ e e $O$ con $B$: questi sono raggi e quindi $OA=OB=r$
Congiungo $O$ con $M$ e quindi $OM=l$
Il triangolo $AOM$ è rettangolo in $M$ (così come $BOM$)
Applico il teorema di Pitagora: $(AO)^2=(OM)^2+(AM)^2$ ovvero, sostituendo, $r^2=l^2+(l/2)^2$ da cui $r^2=5/4l^2$ e ne consegue che il rapporto tra lato del quadrato e raggio della circonferenza è fisso e vale $l/r=2/sqrt(5)$
Tale valore è anche quello della tangente dell'angolo al centro $AOM$.
Come puoi vedere non ci sono valori puntuali di raggi e lati