Espressione in N con quadrati

[axpgn]

Questo problema è famoso e mi pare che venne risolto qui qualche tempo fa...

L'avevi postato tu … … e giammaria aveva pure risposto …

[dan95]

@alex

Eccolo qui! E mi pare di aver capito che è rimasto irrisolto

[Gi8]

Se $a,b$ sono naturali non entrambi nulli allora $a^2+b^2 >= ab +1$ (e dunque $(ab+1)/(a^2+b^2) <=1$).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Infatti:
1) se $a$ è nullo e $b$ no, la disuguaglianza diventa $b^2 >=1$, banalmente vera;
2) se $b$ è nullo e $a$ no, la disuguaglianza diventa $a^2 >=1$, banalmente vera;
3) se sono entrambi non nulli vale in generale $(a-b)^2 >=0$, e da questo segue $a^2 +b^2 >= 2ab => a^2 +b^2 >= ab +ab >= ab+1$.

Ora, se abbiamo l'ipotesi che $a,b in NN$ sono tali che $(ab+1)/(a^2+b^2) in NN$,
certamente $a,b$ sono non entrambi nulli (altrimenti avremmo un denominatore uguale a $0$),
e dunque (dalla proprietà scritta all'inizio) abbiamo necessariamente $(ab+1)/(a^2+b^2) = 1$, da cui $(a^2+b^2)/(ab+1)= 1$.

[giammaria]

@ Gi8
Giusto, ma non hai notato che nel corso della discussione dan95 ha confermato la mia supposizione che nell'ipotesi RedJohn avesse scambiato fra loro numeratore e denominatore.

[orsoulx]

Eccolo qui! E mi pare di aver capito che è rimasto irrisolto

A me pare di aver indicato, in quella discussione, un percorso semplice per la dimostrazione.
Ciao